Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3109 / 3645
↖ ↑ ↗
← N 19.435515°
W 43.374024°		 ← 4 608.04 m → N 19.435515°
W 43.330078°		 →
↑
4 608.65 m
↓
↑
4 608.65 m
↓
N 19.394068°
W 43.374024°		 ← 4 609.22 m →
21 239 590 m²		 N 19.394068°
W 43.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37957763671875 y=0.44500732421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37957763671875 × 213)
    floor (0.37957763671875 × 8192)
    floor (3109.5)     		tx = 3109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44500732421875 × 213)
    floor (0.44500732421875 × 8192)
    floor (3645.5)     		ty = 3645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3109 / 3645 ti = "13/3109/3645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3109/3645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3109 ÷ 213
    3109 ÷ 8192     		x = 0.3795166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3645 ÷ 213
    3645 ÷ 8192     		y = 0.4449462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3795166015625 × 2 - 1) × π
    -0.240966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75701952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4449462890625 × 2 - 1) × π
    0.110107421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.345912667658325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75701952} λ = -0.75701952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.345912667658325))-π/2
    2×atan(1.41327918544732)-π/2
    2×0.9550050219107-π/2
    1.9100100438214-1.57079632675     		φ = 0.33921372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75701952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.374024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33921372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.435515°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3109 KachelY 3645 -0.75701952 0.33921372 -43.374024 19.435515
    Oben rechts KachelX + 1 3110 KachelY 3645 -0.75625253 0.33921372 -43.330078 19.435515
    Unten links KachelX 3109 KachelY + 1 3646 -0.75701952 0.33849034 -43.374024 19.394068
    Unten rechts KachelX + 1 3110 KachelY + 1 3646 -0.75625253 0.33849034 -43.330078 19.394068
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33921372-0.33849034) × R
    0.000723379999999996 × 6371000     		dl = 4608.65397999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33921372-0.33849034) × R
    0.000723379999999996 × 6371000     		dr = 4608.65397999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75701952--0.75625253) × cos(0.33921372) × R
    0.000766989999999912 × 0.943016588309602 × 6371000     		do = 4608.04423113303m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75701952--0.75625253) × cos(0.33849034) × R
    0.000766989999999912 × 0.943257043157337 × 6371000     		du = 4609.21921213304m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33921372)-sin(0.33849034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943016588309602-0.943257043157337)×R²
    abs(-0.75625253--0.75701952)×0.000240454847734606×R²
    0.000766989999999912×0.000240454847734606×6371000²
    0.000766989999999912×0.000240454847734606×40589641000000     		ar = 21239589.8524437m²