Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3109 / 3612
↖ ↑ ↗
← N 20.797201°
W 43.374024°		 ← 4 568.10 m → N 20.797201°
W 43.330078°		 →
↑
4 568.71 m
↓
↑
4 568.71 m
↓
N 20.756114°
W 43.374024°		 ← 4 569.35 m →
20 873 173 m²		 N 20.756114°
W 43.330078°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37957763671875 y=0.44097900390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37957763671875 × 213)
    floor (0.37957763671875 × 8192)
    floor (3109.5)     		tx = 3109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.44097900390625 × 213)
    floor (0.44097900390625 × 8192)
    floor (3612.5)     		ty = 3612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3109 / 3612 ti = "13/3109/3612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3109/3612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3109 ÷ 213
    3109 ÷ 8192     		x = 0.3795166015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3612 ÷ 213
    3612 ÷ 8192     		y = 0.44091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3795166015625 × 2 - 1) × π
    -0.240966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75701952
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44091796875 × 2 - 1) × π
    0.1181640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.371223350657715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75701952} λ = -0.75701952}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.371223350657715))-π/2
    2×atan(1.44950678552855)-π/2
    2×0.966887983507061-π/2
    1.93377596701412-1.57079632675     		φ = 0.36297964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75701952} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.374024°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.36297964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 20.797201°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3109 KachelY 3612 -0.75701952 0.36297964 -43.374024 20.797201
    Oben rechts KachelX + 1 3110 KachelY 3612 -0.75625253 0.36297964 -43.330078 20.797201
    Unten links KachelX 3109 KachelY + 1 3613 -0.75701952 0.36226253 -43.374024 20.756114
    Unten rechts KachelX + 1 3110 KachelY + 1 3613 -0.75625253 0.36226253 -43.330078 20.756114
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.36297964-0.36226253) × R
    0.000717109999999965 × 6371000     		dl = 4568.70780999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.36297964-0.36226253) × R
    0.000717109999999965 × 6371000     		dr = 4568.70780999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75701952--0.75625253) × cos(0.36297964) × R
    0.000766989999999912 × 0.934843020272642 × 6371000     		do = 4568.10414576508m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75701952--0.75625253) × cos(0.36226253) × R
    0.000766989999999912 × 0.935097397890376 × 6371000     		du = 4569.34716028726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.36297964)-sin(0.36226253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.934843020272642-0.935097397890376)×R²
    abs(-0.75625253--0.75701952)×0.000254377617733725×R²
    0.000766989999999912×0.000254377617733725×6371000²
    0.000766989999999912×0.000254377617733725×40589641000000     		ar = 20873173.467224m²