Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31089 / 19569
↖ ↑ ↗
← N 58.490823°
W  9.223023°		 ← 319.22 m → N 58.490823°
W  9.217530°		 →
↑
319.25 m
↓
↑
319.25 m
↓
N 58.487952°
W  9.223023°		 ← 319.25 m →
101 915 m²		 N 58.487952°
W  9.217530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19569 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474388122558594 y=0.298606872558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474388122558594 × 216)
    floor (0.474388122558594 × 65536)
    floor (31089.5)     		tx = 31089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.298606872558594 × 216)
    floor (0.298606872558594 × 65536)
    floor (19569.5)     		ty = 19569
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31089 / 19569 ti = "16/31089/19569"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31089/19569.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31089 ÷ 216
    31089 ÷ 65536     		x = 0.474380493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19569 ÷ 216
    19569 ÷ 65536     		y = 0.298599243164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474380493164062 × 2 - 1) × π
    -0.051239013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16097211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.298599243164062 × 2 - 1) × π
    0.402801513671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.26543827617024
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16097211} λ = -0.16097211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26543827617024))-π/2
    2×atan(3.54464592956315)-π/2
    2×1.29582688531559-π/2
    2.59165377063118-1.57079632675     		φ = 1.02085744
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16097211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.223023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02085744 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.490823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31089 KachelY 19569 -0.16097211 1.02085744 -9.223023 58.490823
    Oben rechts KachelX + 1 31090 KachelY 19569 -0.16087624 1.02085744 -9.217530 58.490823
    Unten links KachelX 31089 KachelY + 1 19570 -0.16097211 1.02080733 -9.223023 58.487952
    Unten rechts KachelX + 1 31090 KachelY + 1 19570 -0.16087624 1.02080733 -9.217530 58.487952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02085744-1.02080733) × R
    5.01099999998811e-05 × 6371000     		dl = 319.250809999242m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02085744-1.02080733) × R
    5.01099999998811e-05 × 6371000     		dr = 319.250809999242m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16097211--0.16087624) × cos(1.02085744) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.522635127448647 × 6371000     		do = 319.219144018018m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16097211--0.16087624) × cos(1.02080733) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.522677848396847 × 6371000     		du = 319.245237450701m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02085744)-sin(1.02080733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.522635127448647-0.522677848396847)×R²
    abs(-0.16087624--0.16097211)×4.27209481994595e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.27209481994595e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.27209481994595e-05×40589641000000     		ar = 101915.135491058m²