Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31089 / 17071
↖ ↑ ↗
← N 64.963091°
W  9.223023°		 ← 258.49 m → N 64.963091°
W  9.217530°		 →
↑
258.47 m
↓
↑
258.47 m
↓
N 64.960766°
W  9.223023°		 ← 258.51 m →
66 814 m²		 N 64.960766°
W  9.217530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17071 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474388122558594 y=0.260490417480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474388122558594 × 216)
    floor (0.474388122558594 × 65536)
    floor (31089.5)     		tx = 31089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.260490417480469 × 216)
    floor (0.260490417480469 × 65536)
    floor (17071.5)     		ty = 17071
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31089 / 17071 ti = "16/31089/17071"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31089/17071.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31089 ÷ 216
    31089 ÷ 65536     		x = 0.474380493164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17071 ÷ 216
    17071 ÷ 65536     		y = 0.260482788085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474380493164062 × 2 - 1) × π
    -0.051239013671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16097211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.260482788085938 × 2 - 1) × π
    0.479034423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.50493102667204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16097211} λ = -0.16097211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.50493102667204))-π/2
    2×atan(4.50384297453658)-π/2
    2×1.35230807972569-π/2
    2.70461615945138-1.57079632675     		φ = 1.13381983
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16097211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.223023°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13381983 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.963091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31089 KachelY 17071 -0.16097211 1.13381983 -9.223023 64.963091
    Oben rechts KachelX + 1 31090 KachelY 17071 -0.16087624 1.13381983 -9.217530 64.963091
    Unten links KachelX 31089 KachelY + 1 17072 -0.16097211 1.13377926 -9.223023 64.960766
    Unten rechts KachelX + 1 31090 KachelY + 1 17072 -0.16087624 1.13377926 -9.217530 64.960766
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13381983-1.13377926) × R
    4.05699999999065e-05 × 6371000     		dl = 258.471469999404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13381983-1.13377926) × R
    4.05699999999065e-05 × 6371000     		dr = 258.471469999404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16097211--0.16087624) × cos(1.13381983) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423202002803672 × 6371000     		do = 258.486607551983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16097211--0.16087624) × cos(1.13377926) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.423238760309742 × 6371000     		du = 258.509058587146m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13381983)-sin(1.13377926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.423202002803672-0.423238760309742)×R²
    abs(-0.16087624--0.16097211)×3.67575060698511e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.67575060698511e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.67575060698511e-05×40589641000000     		ar = 66814.3149143777m²