Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31087 / 19099
↖ ↑ ↗
← N 59.814447°
W  9.234009°		 ← 307.14 m → N 59.814447°
W  9.228515°		 →
↑
307.15 m
↓
↑
307.15 m
↓
N 59.811685°
W  9.234009°		 ← 307.16 m →
94 340 m²		 N 59.811685°
W  9.228515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19099 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474357604980469 y=0.291435241699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474357604980469 × 216)
    floor (0.474357604980469 × 65536)
    floor (31087.5)     		tx = 31087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291435241699219 × 216)
    floor (0.291435241699219 × 65536)
    floor (19099.5)     		ty = 19099
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31087 / 19099 ti = "16/31087/19099"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31087/19099.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31087 ÷ 216
    31087 ÷ 65536     		x = 0.474349975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19099 ÷ 216
    19099 ÷ 65536     		y = 0.291427612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474349975585938 × 2 - 1) × π
    -0.051300048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16116386
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291427612304688 × 2 - 1) × π
    0.417144775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.3104989618131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16116386} λ = -0.16116386}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.3104989618131))-π/2
    2×atan(3.70802341279189)-π/2
    2×1.30737768352317-π/2
    2.61475536704634-1.57079632675     		φ = 1.04395904
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16116386} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.234009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04395904 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.814447°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31087 KachelY 19099 -0.16116386 1.04395904 -9.234009 59.814447
    Oben rechts KachelX + 1 31088 KachelY 19099 -0.16106798 1.04395904 -9.228515 59.814447
    Unten links KachelX 31087 KachelY + 1 19100 -0.16116386 1.04391083 -9.234009 59.811685
    Unten rechts KachelX + 1 31088 KachelY + 1 19100 -0.16106798 1.04391083 -9.228515 59.811685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04395904-1.04391083) × R
    4.8210000000104e-05 × 6371000     		dl = 307.145910000663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04395904-1.04391083) × R
    4.8210000000104e-05 × 6371000     		dr = 307.145910000663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16116386--0.16106798) × cos(1.04395904) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.502802006077818 × 6371000     		do = 307.137349559581m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16116386--0.16106798) × cos(1.04391083) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.502843678295094 × 6371000     		du = 307.162805095178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04395904)-sin(1.04391083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502802006077818-0.502843678295094)×R²
    abs(-0.16106798--0.16116386)×4.167221727569e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.167221727569e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.167221727569e-05×40589641000000     		ar = 94339.8900255267m²