Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31086 / 20116
↖ ↑ ↗
← N 56.885002°
W  9.239502°		 ← 333.69 m → N 56.885002°
W  9.234009°		 →
↑
333.71 m
↓
↑
333.71 m
↓
N 56.882001°
W  9.239502°		 ← 333.71 m →
111 360 m²		 N 56.882001°
W  9.234009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474342346191406 y=0.306953430175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474342346191406 × 216)
    floor (0.474342346191406 × 65536)
    floor (31086.5)     		tx = 31086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306953430175781 × 216)
    floor (0.306953430175781 × 65536)
    floor (20116.5)     		ty = 20116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31086 / 20116 ti = "16/31086/20116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31086/20116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31086 ÷ 216
    31086 ÷ 65536     		x = 0.474334716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20116 ÷ 216
    20116 ÷ 65536     		y = 0.30694580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474334716796875 × 2 - 1) × π
    -0.05133056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16125973
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.30694580078125 × 2 - 1) × π
    0.3861083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2129953079859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16125973} λ = -0.16125973}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2129953079859))-π/2
    2×atan(3.3635444304547)-π/2
    2×1.28181345090009-π/2
    2.56362690180019-1.57079632675     		φ = 0.99283058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16125973} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.239502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99283058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.885002°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31086 KachelY 20116 -0.16125973 0.99283058 -9.239502 56.885002
    Oben rechts KachelX + 1 31087 KachelY 20116 -0.16116386 0.99283058 -9.234009 56.885002
    Unten links KachelX 31086 KachelY + 1 20117 -0.16125973 0.99277820 -9.239502 56.882001
    Unten rechts KachelX + 1 31087 KachelY + 1 20117 -0.16116386 0.99277820 -9.234009 56.882001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99283058-0.99277820) × R
    5.2379999999963e-05 × 6371000     		dl = 333.712979999764m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99283058-0.99277820) × R
    5.2379999999963e-05 × 6371000     		dr = 333.712979999764m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16125973--0.16116386) × cos(0.99283058) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.546321227226779 × 6371000     		do = 333.6863240815m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16125973--0.16116386) × cos(0.99277820) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.546365098694448 × 6371000     		du = 333.713120237405m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99283058)-sin(0.99277820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546321227226779-0.546365098694448)×R²
    abs(-0.16116386--0.16125973)×4.38714676689322e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38714676689322e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38714676689322e-05×40589641000000     		ar = 111359.928732241m²