Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31085 / 16996
↖ ↑ ↗
← N 65.136878°
W  9.244995°		 ← 256.81 m → N 65.136878°
W  9.239502°		 →
↑
256.88 m
↓
↑
256.88 m
↓
N 65.134568°
W  9.244995°		 ← 256.83 m →
65 971 m²		 N 65.134568°
W  9.239502°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16996 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474327087402344 y=0.259346008300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474327087402344 × 216)
    floor (0.474327087402344 × 65536)
    floor (31085.5)     		tx = 31085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259346008300781 × 216)
    floor (0.259346008300781 × 65536)
    floor (16996.5)     		ty = 16996
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31085 / 16996 ti = "16/31085/16996"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31085/16996.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31085 ÷ 216
    31085 ÷ 65536     		x = 0.474319458007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16996 ÷ 216
    16996 ÷ 65536     		y = 0.25933837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474319458007812 × 2 - 1) × π
    -0.051361083984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16135560
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25933837890625 × 2 - 1) × π
    0.4813232421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.51212156161505
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16135560} λ = -0.16135560}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51212156161505))-π/2
    2×atan(4.53634472727867)-π/2
    2×1.35382465625449-π/2
    2.70764931250899-1.57079632675     		φ = 1.13685299
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16135560} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.244995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13685299 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.136878°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31085 KachelY 16996 -0.16135560 1.13685299 -9.244995 65.136878
    Oben rechts KachelX + 1 31086 KachelY 16996 -0.16125973 1.13685299 -9.239502 65.136878
    Unten links KachelX 31085 KachelY + 1 16997 -0.16135560 1.13681267 -9.244995 65.134568
    Unten rechts KachelX + 1 31086 KachelY + 1 16997 -0.16125973 1.13681267 -9.239502 65.134568
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13685299-1.13681267) × R
    4.03199999998716e-05 × 6371000     		dl = 256.878719999182m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13685299-1.13681267) × R
    4.03199999998716e-05 × 6371000     		dr = 256.878719999182m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16135560--0.16125973) × cos(1.13685299) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420451910079303 × 6371000     		do = 256.806884549573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16135560--0.16125973) × cos(1.13681267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420488492671265 × 6371000     		du = 256.829228749337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13685299)-sin(1.13681267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420451910079303-0.420488492671265)×R²
    abs(-0.16125973--0.16135560)×3.6582591961265e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.6582591961265e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.6582591961265e-05×40589641000000     		ar = 65971.0936737437m²