Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31083 / 19106
↖ ↑ ↗
← N 59.795107°
W  9.255981°		 ← 307.28 m → N 59.795107°
W  9.250488°		 →
↑
307.27 m
↓
↑
307.27 m
↓
N 59.792344°
W  9.255981°		 ← 307.31 m →
94 424 m²		 N 59.792344°
W  9.250488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474296569824219 y=0.291542053222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474296569824219 × 216)
    floor (0.474296569824219 × 65536)
    floor (31083.5)     		tx = 31083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291542053222656 × 216)
    floor (0.291542053222656 × 65536)
    floor (19106.5)     		ty = 19106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31083 / 19106 ti = "16/31083/19106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31083/19106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31083 ÷ 216
    31083 ÷ 65536     		x = 0.474288940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19106 ÷ 216
    19106 ÷ 65536     		y = 0.291534423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474288940429688 × 2 - 1) × π
    -0.051422119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16154735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291534423828125 × 2 - 1) × π
    0.41693115234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30982784521841
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16154735} λ = -0.16154735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30982784521841))-π/2
    2×atan(3.70553573160154)-π/2
    2×1.30720891519366-π/2
    2.61441783038733-1.57079632675     		φ = 1.04362150
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16154735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.255981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04362150 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.795107°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31083 KachelY 19106 -0.16154735 1.04362150 -9.255981 59.795107
    Oben rechts KachelX + 1 31084 KachelY 19106 -0.16145148 1.04362150 -9.250488 59.795107
    Unten links KachelX 31083 KachelY + 1 19107 -0.16154735 1.04357327 -9.255981 59.792344
    Unten rechts KachelX + 1 31084 KachelY + 1 19107 -0.16145148 1.04357327 -9.250488 59.792344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04362150-1.04357327) × R
    4.82299999999825e-05 × 6371000     		dl = 307.273329999888m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04362150-1.04357327) × R
    4.82299999999825e-05 × 6371000     		dr = 307.273329999888m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16154735--0.16145148) × cos(1.04362150) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.50309374754865 × 6371000     		do = 307.283508166176m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16154735--0.16145148) × cos(1.04357327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.503135428865366 × 6371000     		du = 307.308966604664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04362150)-sin(1.04357327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50309374754865-0.503135428865366)×R²
    abs(-0.16145148--0.16154735)×4.16813167162244e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16813167162244e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16813167162244e-05×40589641000000     		ar = 94423.9381762119m²