Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31083 / 19105
↖ ↑ ↗
← N 59.797871°
W  9.255981°		 ← 307.26 m → N 59.797871°
W  9.250488°		 →
↑
307.34 m
↓
↑
307.34 m
↓
N 59.795107°
W  9.255981°		 ← 307.28 m →
94 436 m²		 N 59.795107°
W  9.250488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19105 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474296569824219 y=0.291526794433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474296569824219 × 216)
    floor (0.474296569824219 × 65536)
    floor (31083.5)     		tx = 31083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291526794433594 × 216)
    floor (0.291526794433594 × 65536)
    floor (19105.5)     		ty = 19105
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31083 / 19105 ti = "16/31083/19105"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31083/19105.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31083 ÷ 216
    31083 ÷ 65536     		x = 0.474288940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19105 ÷ 216
    19105 ÷ 65536     		y = 0.291519165039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474288940429688 × 2 - 1) × π
    -0.051422119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16154735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291519165039062 × 2 - 1) × π
    0.416961669921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30992371901765
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16154735} λ = -0.16154735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30992371901765))-π/2
    2×atan(3.70589101242113)-π/2
    2×1.30723303094888-π/2
    2.61446606189777-1.57079632675     		φ = 1.04366974
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16154735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.255981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04366974 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.797871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31083 KachelY 19105 -0.16154735 1.04366974 -9.255981 59.797871
    Oben rechts KachelX + 1 31084 KachelY 19105 -0.16145148 1.04366974 -9.250488 59.797871
    Unten links KachelX 31083 KachelY + 1 19106 -0.16154735 1.04362150 -9.255981 59.795107
    Unten rechts KachelX + 1 31084 KachelY + 1 19106 -0.16145148 1.04362150 -9.250488 59.795107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04366974-1.04362150) × R
    4.82399999999217e-05 × 6371000     		dl = 307.337039999501m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04366974-1.04362150) × R
    4.82399999999217e-05 × 6371000     		dr = 307.337039999501m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16154735--0.16145148) × cos(1.04366974) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.50305205641911 × 6371000     		do = 307.258043734135m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16154735--0.16145148) × cos(1.04362150) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.50309374754865 × 6371000     		du = 307.283508166176m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04366974)-sin(1.04362150))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.50305205641911-0.50309374754865)×R²
    abs(-0.16145148--0.16154735)×4.16911295401112e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16911295401112e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16911295401112e-05×40589641000000     		ar = 94435.6907771261m²