Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31083 / 19087
↖ ↑ ↗
← N 59.847574°
W  9.255981°		 ← 306.80 m → N 59.847574°
W  9.250488°		 →
↑
306.83 m
↓
↑
306.83 m
↓
N 59.844815°
W  9.255981°		 ← 306.83 m →
94 139 m²		 N 59.844815°
W  9.250488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19087 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474296569824219 y=0.291252136230469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474296569824219 × 216)
    floor (0.474296569824219 × 65536)
    floor (31083.5)     		tx = 31083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.291252136230469 × 216)
    floor (0.291252136230469 × 65536)
    floor (19087.5)     		ty = 19087
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31083 / 19087 ti = "16/31083/19087"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31083/19087.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31083 ÷ 216
    31083 ÷ 65536     		x = 0.474288940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19087 ÷ 216
    19087 ÷ 65536     		y = 0.291244506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474288940429688 × 2 - 1) × π
    -0.051422119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16154735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.291244506835938 × 2 - 1) × π
    0.417510986328125 × 3.1415926535     		Φ = 1.31164944740398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16154735} λ = -0.16154735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.31164944740398))-π/2
    2×atan(3.71229189524192)-π/2
    2×1.30766677296756-π/2
    2.61533354593513-1.57079632675     		φ = 1.04453722
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16154735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.255981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04453722 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.847574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31083 KachelY 19087 -0.16154735 1.04453722 -9.255981 59.847574
    Oben rechts KachelX + 1 31084 KachelY 19087 -0.16145148 1.04453722 -9.250488 59.847574
    Unten links KachelX 31083 KachelY + 1 19088 -0.16154735 1.04448906 -9.255981 59.844815
    Unten rechts KachelX + 1 31084 KachelY + 1 19088 -0.16145148 1.04448906 -9.250488 59.844815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04453722-1.04448906) × R
    4.81599999999638e-05 × 6371000     		dl = 306.827359999769m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04453722-1.04448906) × R
    4.81599999999638e-05 × 6371000     		dr = 306.827359999769m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16154735--0.16145148) × cos(1.04453722) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.502302142341653 × 6371000     		do = 306.800005387074m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16154735--0.16145148) × cos(1.04448906) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.502343785334277 × 6371000     		du = 306.825440417675m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04453722)-sin(1.04448906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.502302142341653-0.502343785334277)×R²
    abs(-0.16145148--0.16154735)×4.16429926238804e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16429926238804e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16429926238804e-05×40589641000000     		ar = 94138.5378006609m²