Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31083 / 16997
↖ ↑ ↗
← N 65.134568°
W  9.255981°		 ← 256.83 m → N 65.134568°
W  9.250488°		 →
↑
256.82 m
↓
↑
256.82 m
↓
N 65.132258°
W  9.255981°		 ← 256.85 m →
65 960 m²		 N 65.132258°
W  9.250488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16997 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474296569824219 y=0.259361267089844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474296569824219 × 216)
    floor (0.474296569824219 × 65536)
    floor (31083.5)     		tx = 31083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.259361267089844 × 216)
    floor (0.259361267089844 × 65536)
    floor (16997.5)     		ty = 16997
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31083 / 16997 ti = "16/31083/16997"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31083/16997.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31083 ÷ 216
    31083 ÷ 65536     		x = 0.474288940429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16997 ÷ 216
    16997 ÷ 65536     		y = 0.259353637695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474288940429688 × 2 - 1) × π
    -0.051422119140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16154735
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.259353637695312 × 2 - 1) × π
    0.481292724609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.51202568781581
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16154735} λ = -0.16154735}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.51202568781581))-π/2
    2×atan(4.53590983152289)-π/2
    2×1.35380450021665-π/2
    2.70760900043331-1.57079632675     		φ = 1.13681267
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16154735} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.255981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13681267 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 65.134568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31083 KachelY 16997 -0.16154735 1.13681267 -9.255981 65.134568
    Oben rechts KachelX + 1 31084 KachelY 16997 -0.16145148 1.13681267 -9.250488 65.134568
    Unten links KachelX 31083 KachelY + 1 16998 -0.16154735 1.13677236 -9.255981 65.132258
    Unten rechts KachelX + 1 31084 KachelY + 1 16998 -0.16145148 1.13677236 -9.250488 65.132258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13681267-1.13677236) × R
    4.03100000001544e-05 × 6371000     		dl = 256.815010000984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13681267-1.13677236) × R
    4.03100000001544e-05 × 6371000     		dr = 256.815010000984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16154735--0.16145148) × cos(1.13681267) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420488492671265 × 6371000     		do = 256.829228749337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16154735--0.16145148) × cos(1.13677236) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420525065506828 × 6371000     		du = 256.851566990014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13681267)-sin(1.13677236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.420488492671265-0.420525065506828)×R²
    abs(-0.16145148--0.16154735)×3.65728355631867e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.65728355631867e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.65728355631867e-05×40589641000000     		ar = 65960.4693565434m²