Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31082 / 37800
↖ ↑ ↗
← S 26.627818°
W  9.261475°		 ← 546.06 m → S 26.627818°
W  9.255981°		 →
↑
545.99 m
↓
↑
545.99 m
↓
S 26.632728°
W  9.261475°		 ← 546.04 m →
298 141 m²		 S 26.632728°
W  9.255981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37800 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474281311035156 y=0.576789855957031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474281311035156 × 216)
    floor (0.474281311035156 × 65536)
    floor (31082.5)     		tx = 31082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.576789855957031 × 216)
    floor (0.576789855957031 × 65536)
    floor (37800.5)     		ty = 37800
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31082 / 37800 ti = "16/31082/37800"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31082/37800.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31082 ÷ 216
    31082 ÷ 65536     		x = 0.474273681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37800 ÷ 216
    37800 ÷ 65536     		y = 0.5767822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.05145263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16164323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5767822265625 × 2 - 1) × π
    -0.153564453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.482436957776245
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16164323} λ = -0.16164323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.482436957776245))-π/2
    2×atan(0.617277278720037)-π/2
    2×0.553026613067054-π/2
    1.10605322613411-1.57079632675     		φ = -0.46474310
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16164323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.261475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.46474310 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.627818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31082 KachelY 37800 -0.16164323 -0.46474310 -9.261475 -26.627818
    Oben rechts KachelX + 1 31083 KachelY 37800 -0.16154735 -0.46474310 -9.255981 -26.627818
    Unten links KachelX 31082 KachelY + 1 37801 -0.16164323 -0.46482880 -9.261475 -26.632728
    Unten rechts KachelX + 1 31083 KachelY + 1 37801 -0.16154735 -0.46482880 -9.255981 -26.632728
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.46474310--0.46482880) × R
    8.56999999999664e-05 × 6371000     		dl = 545.994699999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.46474310--0.46482880) × R
    8.56999999999664e-05 × 6371000     		dr = 545.994699999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16164323--0.16154735) × cos(-0.46474310) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.893936735928101 × 6371000     		do = 546.062578168008m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16164323--0.16154735) × cos(-0.46482880) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.893898322491248 × 6371000     		du = 546.039113263254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.46474310)-sin(-0.46482880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.893936735928101-0.893898322491248)×R²
    abs(-0.16154735--0.16164323)×3.84134368530686e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.84134368530686e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.84134368530686e-05×40589641000000     		ar = 298140.867873673m²