Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31082 / 20117
↖ ↑ ↗
← N 56.882001°
W  9.261475°		 ← 333.75 m → N 56.882001°
W  9.255981°		 →
↑
333.78 m
↓
↑
333.78 m
↓
N 56.878999°
W  9.261475°		 ← 333.77 m →
111 402 m²		 N 56.878999°
W  9.255981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20117 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474281311035156 y=0.306968688964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474281311035156 × 216)
    floor (0.474281311035156 × 65536)
    floor (31082.5)     		tx = 31082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306968688964844 × 216)
    floor (0.306968688964844 × 65536)
    floor (20117.5)     		ty = 20117
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31082 / 20117 ti = "16/31082/20117"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31082/20117.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31082 ÷ 216
    31082 ÷ 65536     		x = 0.474273681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20117 ÷ 216
    20117 ÷ 65536     		y = 0.306961059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.05145263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16164323
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306961059570312 × 2 - 1) × π
    0.386077880859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.21289943418666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16164323} λ = -0.16164323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21289943418666))-π/2
    2×atan(3.36322197012923)-π/2
    2×1.28178726090254-π/2
    2.56357452180508-1.57079632675     		φ = 0.99277820
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16164323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.261475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99277820 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.882001°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31082 KachelY 20117 -0.16164323 0.99277820 -9.261475 56.882001
    Oben rechts KachelX + 1 31083 KachelY 20117 -0.16154735 0.99277820 -9.255981 56.882001
    Unten links KachelX 31082 KachelY + 1 20118 -0.16164323 0.99272581 -9.261475 56.878999
    Unten rechts KachelX + 1 31083 KachelY + 1 20118 -0.16154735 0.99272581 -9.255981 56.878999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99277820-0.99272581) × R
    5.23900000000133e-05 × 6371000     		dl = 333.776690000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99277820-0.99272581) × R
    5.23900000000133e-05 × 6371000     		dr = 333.776690000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16164323--0.16154735) × cos(0.99277820) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.546365098694448 × 6371000     		do = 333.747929157824m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16164323--0.16154735) × cos(0.99272581) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.54640897703826 × 6371000     		du = 333.774732309081m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99277820)-sin(0.99272581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546365098694448-0.54640897703826)×R²
    abs(-0.16154735--0.16164323)×4.38783438114765e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.38783438114765e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.38783438114765e-05×40589641000000     		ar = 111401.752247724m²