Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31082 / 19757
N 57.946930°
W  9.261475°
← 324.18 m → N 57.946930°
W  9.255981°

324.22 m

324.22 m
N 57.944014°
W  9.261475°
← 324.21 m →
105 111 m²
N 57.944014°
W  9.255981°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474281311035156 y=0.301475524902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474281311035156 × 216)
    floor (0.474281311035156 × 65536)
    floor (31082.5)
    tx = 31082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301475524902344 × 216)
    floor (0.301475524902344 × 65536)
    floor (19757.5)
    ty = 19757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31082 / 19757 ti = "16/31082/19757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31082/19757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31082 ÷ 216
    31082 ÷ 65536
    x = 0.474273681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19757 ÷ 216
    19757 ÷ 65536
    y = 0.301467895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.474273681640625 × 2 - 1) × π
    -0.05145263671875 × 3.1415926535
    Λ = -0.16164323
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.301467895507812 × 2 - 1) × π
    0.397064208984375 × 3.1415926535
    Φ = 1.2474140019131
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16164323} λ = -0.16164323}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2474140019131))-π/2
    2×atan(3.48132859783314)-π/2
    2×1.29108052177496-π/2
    2.58216104354992-1.57079632675
    φ = 1.01136472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16164323} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.261475°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01136472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.946930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31082 KachelY 19757 -0.16164323 1.01136472 -9.261475 57.946930
    Oben rechts KachelX + 1 31083 KachelY 19757 -0.16154735 1.01136472 -9.255981 57.946930
    Unten links KachelX 31082 KachelY + 1 19758 -0.16164323 1.01131383 -9.261475 57.944014
    Unten rechts KachelX + 1 31083 KachelY + 1 19758 -0.16154735 1.01131383 -9.255981 57.944014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(1.01136472-1.01131383) × R
    5.08900000000256e-05 × 6371000
    dl = 324.220190000163m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(1.01136472-1.01131383) × R
    5.08900000000256e-05 × 6371000
    dr = 324.220190000163m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16164323--0.16154735) × cos(1.01136472) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.530704538093343 × 6371000
    do = 324.18165253701m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16164323--0.16154735) × cos(1.01131383) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.530747669576593 × 6371000
    du = 324.207999467388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(1.01136472)-sin(1.01131383))×
    abs(λ12)×abs(0.530704538093343-0.530747669576593)×
    abs(-0.16154735--0.16164323)×4.31314832503027e-05×
    9.58799999999926e-05×4.31314832503027e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.31314832503027e-05×40589641000000
    ar = 105110.508106234m²