Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31081 / 20119
↖ ↑ ↗
← N 56.875997°
W  9.266968°		 ← 333.77 m → N 56.875997°
W  9.261475°		 →
↑
333.78 m
↓
↑
333.78 m
↓
N 56.872996°
W  9.266968°		 ← 333.79 m →
111 408 m²		 N 56.872996°
W  9.261475°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474266052246094 y=0.306999206542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474266052246094 × 216)
    floor (0.474266052246094 × 65536)
    floor (31081.5)     		tx = 31081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306999206542969 × 216)
    floor (0.306999206542969 × 65536)
    floor (20119.5)     		ty = 20119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31081 / 20119 ti = "16/31081/20119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31081/20119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31081 ÷ 216
    31081 ÷ 65536     		x = 0.474258422851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20119 ÷ 216
    20119 ÷ 65536     		y = 0.306991577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474258422851562 × 2 - 1) × π
    -0.051483154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16173910
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306991577148438 × 2 - 1) × π
    0.386016845703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.21270768658818
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16173910} λ = -0.16173910}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21270768658818))-π/2
    2×atan(3.36257714221738)-π/2
    2×1.28173487459801-π/2
    2.56346974919601-1.57079632675     		φ = 0.99267342
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16173910} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.266968°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99267342 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.875997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31081 KachelY 20119 -0.16173910 0.99267342 -9.266968 56.875997
    Oben rechts KachelX + 1 31082 KachelY 20119 -0.16164323 0.99267342 -9.261475 56.875997
    Unten links KachelX 31081 KachelY + 1 20120 -0.16173910 0.99262103 -9.266968 56.872996
    Unten rechts KachelX + 1 31082 KachelY + 1 20120 -0.16164323 0.99262103 -9.261475 56.872996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99267342-0.99262103) × R
    5.23900000000133e-05 × 6371000     		dl = 333.776690000084m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99267342-0.99262103) × R
    5.23900000000133e-05 × 6371000     		dr = 333.776690000084m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16173910--0.16164323) × cos(0.99267342) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.546452853882336 × 6371000     		do = 333.76672003292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16173910--0.16164323) × cos(0.99262103) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.546496729226556 × 6371000     		du = 333.793518556575m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99267342)-sin(0.99262103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.546452853882336-0.546496729226556)×R²
    abs(-0.16164323--0.16173910)×4.38753442204565e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.38753442204565e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.38753442204565e-05×40589641000000     		ar = 111408.02343133m²