Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31079 / 19767
↖ ↑ ↗
← N 57.917765°
W  9.277954°		 ← 324.45 m → N 57.917765°
W  9.272461°		 →
↑
324.41 m
↓
↑
324.41 m
↓
N 57.914848°
W  9.277954°		 ← 324.47 m →
105 258 m²		 N 57.914848°
W  9.272461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474235534667969 y=0.301628112792969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474235534667969 × 216)
    floor (0.474235534667969 × 65536)
    floor (31079.5)     		tx = 31079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301628112792969 × 216)
    floor (0.301628112792969 × 65536)
    floor (19767.5)     		ty = 19767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31079 / 19767 ti = "16/31079/19767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31079/19767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31079 ÷ 216
    31079 ÷ 65536     		x = 0.474227905273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19767 ÷ 216
    19767 ÷ 65536     		y = 0.301620483398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474227905273438 × 2 - 1) × π
    -0.051544189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16193085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301620483398438 × 2 - 1) × π
    0.396759033203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.2464552639207
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16193085} λ = -0.16193085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2464552639207))-π/2
    2×atan(3.47799251531243)-π/2
    2×1.29082601509277-π/2
    2.58165203018554-1.57079632675     		φ = 1.01085570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16193085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.277954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01085570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.917765°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31079 KachelY 19767 -0.16193085 1.01085570 -9.277954 57.917765
    Oben rechts KachelX + 1 31080 KachelY 19767 -0.16183497 1.01085570 -9.272461 57.917765
    Unten links KachelX 31079 KachelY + 1 19768 -0.16193085 1.01080478 -9.277954 57.914848
    Unten rechts KachelX + 1 31080 KachelY + 1 19768 -0.16183497 1.01080478 -9.272461 57.914848
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01085570-1.01080478) × R
    5.09200000000654e-05 × 6371000     		dl = 324.411320000416m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01085570-1.01080478) × R
    5.09200000000654e-05 × 6371000     		dr = 324.411320000416m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16193085--0.16183497) × cos(1.01085570) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.531135892733169 × 6371000     		do = 324.445146157153m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16193085--0.16183497) × cos(1.01080478) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.531179035880677 × 6371000     		du = 324.47150021266m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01085570)-sin(1.01080478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531135892733169-0.531179035880677)×R²
    abs(-0.16183497--0.16193085)×4.31431475077515e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.31431475077515e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.31431475077515e-05×40589641000000     		ar = 105257.952932261m²