Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31077 / 19771
↖ ↑ ↗
← N 57.906093°
W  9.288940°		 ← 324.52 m → N 57.906093°
W  9.283447°		 →
↑
324.54 m
↓
↑
324.54 m
↓
N 57.903174°
W  9.288940°		 ← 324.54 m →
105 323 m²		 N 57.903174°
W  9.283447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474205017089844 y=0.301689147949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474205017089844 × 216)
    floor (0.474205017089844 × 65536)
    floor (31077.5)     		tx = 31077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301689147949219 × 216)
    floor (0.301689147949219 × 65536)
    floor (19771.5)     		ty = 19771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31077 / 19771 ti = "16/31077/19771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31077/19771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31077 ÷ 216
    31077 ÷ 65536     		x = 0.474197387695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19771 ÷ 216
    19771 ÷ 65536     		y = 0.301681518554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474197387695312 × 2 - 1) × π
    -0.051605224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16212259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301681518554688 × 2 - 1) × π
    0.396636962890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24607176872374
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16212259} λ = -0.16212259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24607176872374))-π/2
    2×atan(3.47665897760674)-π/2
    2×1.29072415451423-π/2
    2.58144830902845-1.57079632675     		φ = 1.01065198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16212259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.288940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01065198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.906093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31077 KachelY 19771 -0.16212259 1.01065198 -9.288940 57.906093
    Oben rechts KachelX + 1 31078 KachelY 19771 -0.16202672 1.01065198 -9.283447 57.906093
    Unten links KachelX 31077 KachelY + 1 19772 -0.16212259 1.01060104 -9.288940 57.903174
    Unten rechts KachelX + 1 31078 KachelY + 1 19772 -0.16202672 1.01060104 -9.283447 57.903174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01065198-1.01060104) × R
    5.09399999999438e-05 × 6371000     		dl = 324.538739999642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01065198-1.01060104) × R
    5.09399999999438e-05 × 6371000     		dr = 324.538739999642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16212259--0.16202672) × cos(1.01065198) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.531308490946296 × 6371000     		do = 324.516728367146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16212259--0.16202672) × cos(1.01060104) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.531351645526015 × 6371000     		du = 324.543086656658m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01065198)-sin(1.01060104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531308490946296-0.531351645526015)×R²
    abs(-0.16202672--0.16212259)×4.31545797191513e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31545797191513e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31545797191513e-05×40589641000000     		ar = 105322.527299183m²