Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31076 / 19747
↖ ↑ ↗
← N 57.976071°
W  9.294434°		 ← 323.92 m → N 57.976071°
W  9.288940°		 →
↑
323.90 m
↓
↑
323.90 m
↓
N 57.973158°
W  9.294434°		 ← 323.94 m →
104 922 m²		 N 57.973158°
W  9.288940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474189758300781 y=0.301322937011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474189758300781 × 216)
    floor (0.474189758300781 × 65536)
    floor (31076.5)     		tx = 31076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301322937011719 × 216)
    floor (0.301322937011719 × 65536)
    floor (19747.5)     		ty = 19747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31076 / 19747 ti = "16/31076/19747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31076/19747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31076 ÷ 216
    31076 ÷ 65536     		x = 0.47418212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19747 ÷ 216
    19747 ÷ 65536     		y = 0.301315307617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47418212890625 × 2 - 1) × π
    -0.0516357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16221847
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301315307617188 × 2 - 1) × π
    0.397369384765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.2483727399055
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16221847} λ = -0.16221847}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2483727399055))-π/2
    2×atan(3.48466788031663)-π/2
    2×1.29133482173286-π/2
    2.58266964346571-1.57079632675     		φ = 1.01187332
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16221847} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.294434°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01187332 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.976071°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31076 KachelY 19747 -0.16221847 1.01187332 -9.294434 57.976071
    Oben rechts KachelX + 1 31077 KachelY 19747 -0.16212259 1.01187332 -9.288940 57.976071
    Unten links KachelX 31076 KachelY + 1 19748 -0.16221847 1.01182248 -9.294434 57.973158
    Unten rechts KachelX + 1 31077 KachelY + 1 19748 -0.16212259 1.01182248 -9.288940 57.973158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01187332-1.01182248) × R
    5.08400000001075e-05 × 6371000     		dl = 323.901640000685m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01187332-1.01182248) × R
    5.08400000001075e-05 × 6371000     		dr = 323.901640000685m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16221847--0.16212259) × cos(1.01187332) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.530273402034513 × 6371000     		do = 323.918292437393m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16221847--0.16212259) × cos(1.01182248) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.530316504858798 × 6371000     		du = 323.944621861399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01187332)-sin(1.01182248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530273402034513-0.530316504858798)×R²
    abs(-0.16212259--0.16221847)×4.31028242849907e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.31028242849907e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.31028242849907e-05×40589641000000     		ar = 104921.930240815m²