Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31071 / 17549
↖ ↑ ↗
← N 63.828557°
W  9.321900°		 ← 269.42 m → N 63.828557°
W  9.316406°		 →
↑
269.43 m
↓
↑
269.43 m
↓
N 63.826134°
W  9.321900°		 ← 269.44 m →
72 593 m²		 N 63.826134°
W  9.316406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474113464355469 y=0.267784118652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474113464355469 × 216)
    floor (0.474113464355469 × 65536)
    floor (31071.5)     		tx = 31071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267784118652344 × 216)
    floor (0.267784118652344 × 65536)
    floor (17549.5)     		ty = 17549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31071 / 17549 ti = "16/31071/17549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31071/17549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31071 ÷ 216
    31071 ÷ 65536     		x = 0.474105834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17549 ÷ 216
    17549 ÷ 65536     		y = 0.267776489257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474105834960938 × 2 - 1) × π
    -0.051788330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16269784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267776489257812 × 2 - 1) × π
    0.464447021484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.45910335063527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16269784} λ = -0.16269784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45910335063527))-π/2
    2×atan(4.30210032290517)-π/2
    2×1.34240740171997-π/2
    2.68481480343994-1.57079632675     		φ = 1.11401848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16269784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.321900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11401848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.828557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31071 KachelY 17549 -0.16269784 1.11401848 -9.321900 63.828557
    Oben rechts KachelX + 1 31072 KachelY 17549 -0.16260196 1.11401848 -9.316406 63.828557
    Unten links KachelX 31071 KachelY + 1 17550 -0.16269784 1.11397619 -9.321900 63.826134
    Unten rechts KachelX + 1 31072 KachelY + 1 17550 -0.16260196 1.11397619 -9.316406 63.826134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11401848-1.11397619) × R
    4.22899999998894e-05 × 6371000     		dl = 269.429589999295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11401848-1.11397619) × R
    4.22899999998894e-05 × 6371000     		dr = 269.429589999295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16269784--0.16260196) × cos(1.11401848) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.441058588941809 × 6371000     		do = 269.421291821873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16269784--0.16260196) × cos(1.11397619) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.441096542905223 × 6371000     		du = 269.444476056596m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11401848)-sin(1.11397619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441058588941809-0.441096542905223)×R²
    abs(-0.16260196--0.16269784)×3.79539634131065e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.79539634131065e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.79539634131065e-05×40589641000000     		ar = 72593.1914628084m²