Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31071 / 17548
↖ ↑ ↗
← N 63.830980°
W  9.321900°		 ← 269.40 m → N 63.830980°
W  9.316406°		 →
↑
269.37 m
↓
↑
269.37 m
↓
N 63.828557°
W  9.321900°		 ← 269.42 m →
72 570 m²		 N 63.828557°
W  9.316406°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474113464355469 y=0.267768859863281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474113464355469 × 216)
    floor (0.474113464355469 × 65536)
    floor (31071.5)     		tx = 31071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267768859863281 × 216)
    floor (0.267768859863281 × 65536)
    floor (17548.5)     		ty = 17548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31071 / 17548 ti = "16/31071/17548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31071/17548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31071 ÷ 216
    31071 ÷ 65536     		x = 0.474105834960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17548 ÷ 216
    17548 ÷ 65536     		y = 0.26776123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474105834960938 × 2 - 1) × π
    -0.051788330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16269784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26776123046875 × 2 - 1) × π
    0.4644775390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.45919922443451
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16269784} λ = -0.16269784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45919922443451))-π/2
    2×atan(4.30251280138046)-π/2
    2×1.34242854379182-π/2
    2.68485708758364-1.57079632675     		φ = 1.11406076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16269784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.321900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11406076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.830980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31071 KachelY 17548 -0.16269784 1.11406076 -9.321900 63.830980
    Oben rechts KachelX + 1 31072 KachelY 17548 -0.16260196 1.11406076 -9.316406 63.830980
    Unten links KachelX 31071 KachelY + 1 17549 -0.16269784 1.11401848 -9.321900 63.828557
    Unten rechts KachelX + 1 31072 KachelY + 1 17549 -0.16260196 1.11401848 -9.316406 63.828557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11406076-1.11401848) × R
    4.22800000001722e-05 × 6371000     		dl = 269.365880001097m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11406076-1.11401848) × R
    4.22800000001722e-05 × 6371000     		dr = 269.365880001097m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16269784--0.16260196) × cos(1.11406076) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.441020643164557 × 6371000     		do = 269.398112587679m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16269784--0.16260196) × cos(1.11401848) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.441058588941809 × 6371000     		du = 269.421291821873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11406076)-sin(1.11401848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.441020643164557-0.441058588941809)×R²
    abs(-0.16260196--0.16269784)×3.79457772524128e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.79457772524128e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.79457772524128e-05×40589641000000     		ar = 72569.7815260068m²