Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31070 / 17542
↖ ↑ ↗
← N 63.845512°
W  9.327393°		 ← 269.23 m → N 63.845512°
W  9.321900°		 →
↑
269.24 m
↓
↑
269.24 m
↓
N 63.843090°
W  9.327393°		 ← 269.25 m →
72 490 m²		 N 63.843090°
W  9.321900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17542 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474098205566406 y=0.267677307128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474098205566406 × 216)
    floor (0.474098205566406 × 65536)
    floor (31070.5)     		tx = 31070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267677307128906 × 216)
    floor (0.267677307128906 × 65536)
    floor (17542.5)     		ty = 17542
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31070 / 17542 ti = "16/31070/17542"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31070/17542.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31070 ÷ 216
    31070 ÷ 65536     		x = 0.474090576171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17542 ÷ 216
    17542 ÷ 65536     		y = 0.267669677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474090576171875 × 2 - 1) × π
    -0.05181884765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16279371
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267669677734375 × 2 - 1) × π
    0.46466064453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.45977446722995
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16279371} λ = -0.16279371}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45977446722995))-π/2
    2×atan(4.3049885028682)-π/2
    2×1.34255535802551-π/2
    2.68511071605102-1.57079632675     		φ = 1.11431439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16279371} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.327393°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11431439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.845512°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31070 KachelY 17542 -0.16279371 1.11431439 -9.327393 63.845512
    Oben rechts KachelX + 1 31071 KachelY 17542 -0.16269784 1.11431439 -9.321900 63.845512
    Unten links KachelX 31070 KachelY + 1 17543 -0.16279371 1.11427213 -9.327393 63.843090
    Unten rechts KachelX + 1 31071 KachelY + 1 17543 -0.16269784 1.11427213 -9.321900 63.843090
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11431439-1.11427213) × R
    4.22600000000717e-05 × 6371000     		dl = 269.238460000457m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11431439-1.11427213) × R
    4.22600000000717e-05 × 6371000     		dr = 269.238460000457m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16279371--0.16269784) × cos(1.11431439) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.440792996828134 × 6371000     		do = 269.230971564267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16279371--0.16269784) × cos(1.11427213) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.440830929381841 × 6371000     		du = 269.254140304156m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11431439)-sin(1.11427213))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440792996828134-0.440830929381841)×R²
    abs(-0.16269784--0.16279371)×3.79325537065989e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79325537065989e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79325537065989e-05×40589641000000     		ar = 72490.45113709m²