Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3107 / 5203
↖ ↑ ↗
← S 43.675818°
W 43.461914°		 ← 3 534.20 m → S 43.675818°
W 43.417969°		 →
↑
3 533.23 m
↓
↑
3 533.23 m
↓
S 43.707593°
W 43.461914°		 ← 3 532.33 m →
12 483 827 m²		 S 43.707593°
W 43.417969°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.37933349609375 y=0.63519287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.37933349609375 × 213)
    floor (0.37933349609375 × 8192)
    floor (3107.5)     		tx = 3107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.63519287109375 × 213)
    floor (0.63519287109375 × 8192)
    floor (5203.5)     		ty = 5203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3107 / 5203 ti = "13/3107/5203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3107/5203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3107 ÷ 213
    3107 ÷ 8192     		x = 0.3792724609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5203 ÷ 213
    5203 ÷ 8192     		y = 0.6351318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3792724609375 × 2 - 1) × π
    -0.241455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.75855350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6351318359375 × 2 - 1) × π
    -0.270263671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.849058366070435
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75855350} λ = -0.75855350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.849058366070435))-π/2
    2×atan(0.427817589899094)-π/2
    2×0.40425474879127-π/2
    0.808509497582541-1.57079632675     		φ = -0.76228683
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75855350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.461914°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.76228683 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.675818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3107 KachelY 5203 -0.75855350 -0.76228683 -43.461914 -43.675818
    Oben rechts KachelX + 1 3108 KachelY 5203 -0.75778651 -0.76228683 -43.417969 -43.675818
    Unten links KachelX 3107 KachelY + 1 5204 -0.75855350 -0.76284141 -43.461914 -43.707593
    Unten rechts KachelX + 1 3108 KachelY + 1 5204 -0.75778651 -0.76284141 -43.417969 -43.707593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.76228683--0.76284141) × R
    0.000554580000000082 × 6371000     		dl = 3533.22918000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.76228683--0.76284141) × R
    0.000554580000000082 × 6371000     		dr = 3533.22918000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75855350--0.75778651) × cos(-0.76228683) × R
    0.000766990000000023 × 0.723258670588463 × 6371000     		do = 3534.19864076495m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75855350--0.75778651) × cos(-0.76284141) × R
    0.000766990000000023 × 0.72287557907163 × 6371000     		du = 3532.32666663849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.76228683)-sin(-0.76284141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.723258670588463-0.72287557907163)×R²
    abs(-0.75778651--0.75855350)×0.000383091516833689×R²
    0.000766990000000023×0.000383091516833689×6371000²
    0.000766990000000023×0.000383091516833689×40589641000000     		ar = 12483827.028625m²