Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31069 / 17543
↖ ↑ ↗
← N 63.843090°
W  9.332885°		 ← 269.25 m → N 63.843090°
W  9.327393°		 →
↑
269.30 m
↓
↑
269.30 m
↓
N 63.840668°
W  9.332885°		 ← 269.28 m →
72 514 m²		 N 63.840668°
W  9.327393°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474082946777344 y=0.267692565917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474082946777344 × 216)
    floor (0.474082946777344 × 65536)
    floor (31069.5)     		tx = 31069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267692565917969 × 216)
    floor (0.267692565917969 × 65536)
    floor (17543.5)     		ty = 17543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31069 / 17543 ti = "16/31069/17543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31069/17543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31069 ÷ 216
    31069 ÷ 65536     		x = 0.474075317382812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17543 ÷ 216
    17543 ÷ 65536     		y = 0.267684936523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474075317382812 × 2 - 1) × π
    -0.051849365234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16288958
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267684936523438 × 2 - 1) × π
    0.464630126953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.45967859343071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16288958} λ = -0.16288958}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45967859343071))-π/2
    2×atan(4.30457578704938)-π/2
    2×1.34253422686661-π/2
    2.68506845373322-1.57079632675     		φ = 1.11427213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16288958} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.332885°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11427213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.843090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31069 KachelY 17543 -0.16288958 1.11427213 -9.332885 63.843090
    Oben rechts KachelX + 1 31070 KachelY 17543 -0.16279371 1.11427213 -9.327393 63.843090
    Unten links KachelX 31069 KachelY + 1 17544 -0.16288958 1.11422986 -9.332885 63.840668
    Unten rechts KachelX + 1 31070 KachelY + 1 17544 -0.16279371 1.11422986 -9.327393 63.840668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11427213-1.11422986) × R
    4.22700000000109e-05 × 6371000     		dl = 269.30217000007m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11427213-1.11422986) × R
    4.22700000000109e-05 × 6371000     		dr = 269.30217000007m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16288958--0.16279371) × cos(1.11427213) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.440830929381841 × 6371000     		do = 269.254140304156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16288958--0.16279371) × cos(1.11422986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.440868870123979 × 6371000     		du = 269.277314045439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11427213)-sin(1.11422986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440830929381841-0.440868870123979)×R²
    abs(-0.16279371--0.16288958)×3.79407421384759e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79407421384759e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79407421384759e-05×40589641000000     		ar = 72513.8446455181m²