Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31068 / 37732
↖ ↑ ↗
← S 26.293415°
W  9.338379°		 ← 547.65 m → S 26.293415°
W  9.332885°		 →
↑
547.65 m
↓
↑
547.65 m
↓
S 26.298340°
W  9.338379°		 ← 547.63 m →
299 915 m²		 S 26.298340°
W  9.332885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37732 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474067687988281 y=0.575752258300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474067687988281 × 216)
    floor (0.474067687988281 × 65536)
    floor (31068.5)     		tx = 31068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.575752258300781 × 216)
    floor (0.575752258300781 × 65536)
    floor (37732.5)     		ty = 37732
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31068 / 37732 ti = "16/31068/37732"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31068/37732.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31068 ÷ 216
    31068 ÷ 65536     		x = 0.47406005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37732 ÷ 216
    37732 ÷ 65536     		y = 0.57574462890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47406005859375 × 2 - 1) × π
    -0.0518798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16298546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.57574462890625 × 2 - 1) × π
    -0.1514892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.475917539427917
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16298546} λ = -0.16298546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.475917539427917))-π/2
    2×atan(0.621314714101897)-π/2
    2×0.555944831694688-π/2
    1.11188966338938-1.57079632675     		φ = -0.45890666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16298546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.338379°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45890666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.293415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31068 KachelY 37732 -0.16298546 -0.45890666 -9.338379 -26.293415
    Oben rechts KachelX + 1 31069 KachelY 37732 -0.16288958 -0.45890666 -9.332885 -26.293415
    Unten links KachelX 31068 KachelY + 1 37733 -0.16298546 -0.45899262 -9.338379 -26.298340
    Unten rechts KachelX + 1 31069 KachelY + 1 37733 -0.16288958 -0.45899262 -9.332885 -26.298340
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45890666--0.45899262) × R
    8.5959999999996e-05 × 6371000     		dl = 547.651159999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45890666--0.45899262) × R
    8.5959999999996e-05 × 6371000     		dr = 547.651159999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16298546--0.16288958) × cos(-0.45890666) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.896537348084991 × 6371000     		do = 547.65116595295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16298546--0.16288958) × cos(-0.45899262) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.896499267230399 × 6371000     		du = 547.627904206563m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45890666)-sin(-0.45899262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.896537348084991-0.896499267230399)×R²
    abs(-0.16288958--0.16298546)×3.80808545915601e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.80808545915601e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.80808545915601e-05×40589641000000     		ar = 299915.426832802m²