Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31066 / 20089
↖ ↑ ↗
← N 56.965942°
W  9.349365°		 ← 333 m → N 56.965942°
W  9.343872°		 →
↑
333.01 m
↓
↑
333.01 m
↓
N 56.962947°
W  9.349365°		 ← 333.02 m →
110 897 m²		 N 56.962947°
W  9.343872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474037170410156 y=0.306541442871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474037170410156 × 216)
    floor (0.474037170410156 × 65536)
    floor (31066.5)     		tx = 31066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.306541442871094 × 216)
    floor (0.306541442871094 × 65536)
    floor (20089.5)     		ty = 20089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31066 / 20089 ti = "16/31066/20089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31066/20089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31066 ÷ 216
    31066 ÷ 65536     		x = 0.474029541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20089 ÷ 216
    20089 ÷ 65536     		y = 0.306533813476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.05194091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16317721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.306533813476562 × 2 - 1) × π
    0.386932373046875 × 3.1415926535     		Φ = 1.21558390056538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16317721} λ = -0.16317721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.21558390056538))-π/2
    2×atan(3.37226255557692)-π/2
    2×1.28251978621316-π/2
    2.56503957242631-1.57079632675     		φ = 0.99424325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16317721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.349365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.99424325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 56.965942°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31066 KachelY 20089 -0.16317721 0.99424325 -9.349365 56.965942
    Oben rechts KachelX + 1 31067 KachelY 20089 -0.16308133 0.99424325 -9.343872 56.965942
    Unten links KachelX 31066 KachelY + 1 20090 -0.16317721 0.99419098 -9.349365 56.962947
    Unten rechts KachelX + 1 31067 KachelY + 1 20090 -0.16308133 0.99419098 -9.343872 56.962947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.99424325-0.99419098) × R
    5.22700000000764e-05 × 6371000     		dl = 333.012170000487m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.99424325-0.99419098) × R
    5.22700000000764e-05 × 6371000     		dr = 333.012170000487m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16317721--0.16308133) × cos(0.99424325) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.545137464373489 × 6371000     		do = 332.998026915967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16317721--0.16308133) × cos(0.99419098) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.545181284009392 × 6371000     		du = 333.024794205412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.99424325)-sin(0.99419098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.545137464373489-0.545181284009392)×R²
    abs(-0.16308133--0.16317721)×4.3819635903497e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.3819635903497e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.3819635903497e-05×40589641000000     		ar = 110896.852491117m²