Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31066 / 19746
↖ ↑ ↗
← N 57.978983°
W  9.349365°		 ← 323.89 m → N 57.978983°
W  9.343872°		 →
↑
323.84 m
↓
↑
323.84 m
↓
N 57.976071°
W  9.349365°		 ← 323.92 m →
104 893 m²		 N 57.976071°
W  9.343872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19746 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474037170410156 y=0.301307678222656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474037170410156 × 216)
    floor (0.474037170410156 × 65536)
    floor (31066.5)     		tx = 31066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301307678222656 × 216)
    floor (0.301307678222656 × 65536)
    floor (19746.5)     		ty = 19746
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31066 / 19746 ti = "16/31066/19746"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31066/19746.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31066 ÷ 216
    31066 ÷ 65536     		x = 0.474029541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19746 ÷ 216
    19746 ÷ 65536     		y = 0.301300048828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.05194091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16317721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301300048828125 × 2 - 1) × π
    0.39739990234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24846861370474
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16317721} λ = -0.16317721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24846861370474))-π/2
    2×atan(3.48500198468107)-π/2
    2×1.29136024036274-π/2
    2.58272048072549-1.57079632675     		φ = 1.01192415
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16317721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.349365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01192415 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.978983°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31066 KachelY 19746 -0.16317721 1.01192415 -9.349365 57.978983
    Oben rechts KachelX + 1 31067 KachelY 19746 -0.16308133 1.01192415 -9.343872 57.978983
    Unten links KachelX 31066 KachelY + 1 19747 -0.16317721 1.01187332 -9.349365 57.976071
    Unten rechts KachelX + 1 31067 KachelY + 1 19747 -0.16308133 1.01187332 -9.343872 57.976071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01192415-1.01187332) × R
    5.08299999999462e-05 × 6371000     		dl = 323.837929999657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01192415-1.01187332) × R
    5.08299999999462e-05 × 6371000     		dr = 323.837929999657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16317721--0.16308133) × cos(1.01192415) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.530230306318165 × 6371000     		do = 323.891967355279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16317721--0.16308133) × cos(1.01187332) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.530273402034513 × 6371000     		du = 323.918292437393m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01192415)-sin(1.01187332))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530230306318165-0.530273402034513)×R²
    abs(-0.16308133--0.16317721)×4.30957163488621e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.30957163488621e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.30957163488621e-05×40589641000000     		ar = 104892.766804526m²