Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31066 / 17546
↖ ↑ ↗
← N 63.835825°
W  9.349365°		 ← 269.35 m → N 63.835825°
W  9.343872°		 →
↑
269.37 m
↓
↑
269.37 m
↓
N 63.833402°
W  9.349365°		 ← 269.37 m →
72 557 m²		 N 63.833402°
W  9.343872°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474037170410156 y=0.267738342285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474037170410156 × 216)
    floor (0.474037170410156 × 65536)
    floor (31066.5)     		tx = 31066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267738342285156 × 216)
    floor (0.267738342285156 × 65536)
    floor (17546.5)     		ty = 17546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31066 / 17546 ti = "16/31066/17546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31066/17546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31066 ÷ 216
    31066 ÷ 65536     		x = 0.474029541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17546 ÷ 216
    17546 ÷ 65536     		y = 0.267730712890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.05194091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16317721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267730712890625 × 2 - 1) × π
    0.46453857421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.45939097203299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16317721} λ = -0.16317721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.45939097203299))-π/2
    2×atan(4.30333787697816)-π/2
    2×1.34247082247827-π/2
    2.68494164495654-1.57079632675     		φ = 1.11414532
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16317721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.349365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11414532 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.835825°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31066 KachelY 17546 -0.16317721 1.11414532 -9.349365 63.835825
    Oben rechts KachelX + 1 31067 KachelY 17546 -0.16308133 1.11414532 -9.343872 63.835825
    Unten links KachelX 31066 KachelY + 1 17547 -0.16317721 1.11410304 -9.349365 63.833402
    Unten rechts KachelX + 1 31067 KachelY + 1 17547 -0.16308133 1.11410304 -9.343872 63.833402
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11414532-1.11410304) × R
    4.22799999999501e-05 × 6371000     		dl = 269.365879999682m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11414532-1.11410304) × R
    4.22799999999501e-05 × 6371000     		dr = 269.365879999682m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16317721--0.16308133) × cos(1.11414532) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.440944749245017 × 6371000     		do = 269.351752674527m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16317721--0.16308133) × cos(1.11410304) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.440982696598937 × 6371000     		du = 269.374932871831m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11414532)-sin(1.11410304))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440944749245017-0.440982696598937)×R²
    abs(-0.16308133--0.16317721)×3.79473539199315e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.79473539199315e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.79473539199315e-05×40589641000000     		ar = 72557.293876477m²