Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31065 / 19220
↖ ↑ ↗
← N 59.478569°
W  9.354858°		 ← 310.20 m → N 59.478569°
W  9.349365°		 →
↑
310.20 m
↓
↑
310.20 m
↓
N 59.475779°
W  9.354858°		 ← 310.22 m →
96 228 m²		 N 59.475779°
W  9.349365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474021911621094 y=0.293281555175781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474021911621094 × 216)
    floor (0.474021911621094 × 65536)
    floor (31065.5)     		tx = 31065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293281555175781 × 216)
    floor (0.293281555175781 × 65536)
    floor (19220.5)     		ty = 19220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31065 / 19220 ti = "16/31065/19220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31065/19220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31065 ÷ 216
    31065 ÷ 65536     		x = 0.474014282226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19220 ÷ 216
    19220 ÷ 65536     		y = 0.29327392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474014282226562 × 2 - 1) × π
    -0.051971435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16327308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29327392578125 × 2 - 1) × π
    0.4134521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29889823210504
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16327308} λ = -0.16327308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29889823210504))-π/2
    2×atan(3.66525618060195)-π/2
    2×1.30444659363362-π/2
    2.60889318726724-1.57079632675     		φ = 1.03809686
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16327308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.354858°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03809686 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.478569°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31065 KachelY 19220 -0.16327308 1.03809686 -9.354858 59.478569
    Oben rechts KachelX + 1 31066 KachelY 19220 -0.16317721 1.03809686 -9.349365 59.478569
    Unten links KachelX 31065 KachelY + 1 19221 -0.16327308 1.03804817 -9.354858 59.475779
    Unten rechts KachelX + 1 31066 KachelY + 1 19221 -0.16317721 1.03804817 -9.349365 59.475779
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03809686-1.03804817) × R
    4.86900000000734e-05 × 6371000     		dl = 310.203990000468m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03809686-1.03804817) × R
    4.86900000000734e-05 × 6371000     		dr = 310.203990000468m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16327308--0.16317721) × cos(1.03809686) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.507860615473154 × 6371000     		do = 310.195052795668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16327308--0.16317721) × cos(1.03804817) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.507902558348613 × 6371000     		du = 310.220670991038m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03809686)-sin(1.03804817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507860615473154-0.507902558348613)×R²
    abs(-0.16317721--0.16327308)×4.19428754596662e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.19428754596662e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.19428754596662e-05×40589641000000     		ar = 96227.7165076739m²