Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31064 / 19749
↖ ↑ ↗
← N 57.970244°
W  9.360351°		 ← 323.94 m → N 57.970244°
W  9.354858°		 →
↑
323.97 m
↓
↑
323.97 m
↓
N 57.967331°
W  9.360351°		 ← 323.96 m →
104 949 m²		 N 57.967331°
W  9.354858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19749 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474006652832031 y=0.301353454589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474006652832031 × 216)
    floor (0.474006652832031 × 65536)
    floor (31064.5)     		tx = 31064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301353454589844 × 216)
    floor (0.301353454589844 × 65536)
    floor (19749.5)     		ty = 19749
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31064 / 19749 ti = "16/31064/19749"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31064/19749.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31064 ÷ 216
    31064 ÷ 65536     		x = 0.4739990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19749 ÷ 216
    19749 ÷ 65536     		y = 0.301345825195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4739990234375 × 2 - 1) × π
    -0.052001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16336895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301345825195312 × 2 - 1) × π
    0.397308349609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24818099230702
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16336895} λ = -0.16336895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24818099230702))-π/2
    2×atan(3.48399976767562)-π/2
    2×1.29128397827432-π/2
    2.58256795654864-1.57079632675     		φ = 1.01177163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16336895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.360351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01177163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.970244°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31064 KachelY 19749 -0.16336895 1.01177163 -9.360351 57.970244
    Oben rechts KachelX + 1 31065 KachelY 19749 -0.16327308 1.01177163 -9.354858 57.970244
    Unten links KachelX 31064 KachelY + 1 19750 -0.16336895 1.01172078 -9.360351 57.967331
    Unten rechts KachelX + 1 31065 KachelY + 1 19750 -0.16327308 1.01172078 -9.354858 57.967331
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01177163-1.01172078) × R
    5.08499999998246e-05 × 6371000     		dl = 323.965349998883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01177163-1.01172078) × R
    5.08499999998246e-05 × 6371000     		dr = 323.965349998883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16336895--0.16327308) × cos(1.01177163) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.530359614790099 × 6371000     		do = 323.93716641579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16336895--0.16327308) × cos(1.01172078) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.530402723350037 × 6371000     		du = 323.963496596983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01177163)-sin(1.01172078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530359614790099-0.530402723350037)×R²
    abs(-0.16327308--0.16336895)×4.31085599376102e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.31085599376102e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.31085599376102e-05×40589641000000     		ar = 104948.682551553m²