Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31064 / 19221
↖ ↑ ↗
← N 59.475779°
W  9.360351°		 ← 310.22 m → N 59.475779°
W  9.354858°		 →
↑
310.27 m
↓
↑
310.27 m
↓
N 59.472989°
W  9.360351°		 ← 310.25 m →
96 255 m²		 N 59.472989°
W  9.354858°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19221 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474006652832031 y=0.293296813964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474006652832031 × 216)
    floor (0.474006652832031 × 65536)
    floor (31064.5)     		tx = 31064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.293296813964844 × 216)
    floor (0.293296813964844 × 65536)
    floor (19221.5)     		ty = 19221
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31064 / 19221 ti = "16/31064/19221"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31064/19221.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31064 ÷ 216
    31064 ÷ 65536     		x = 0.4739990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19221 ÷ 216
    19221 ÷ 65536     		y = 0.293289184570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4739990234375 × 2 - 1) × π
    -0.052001953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16336895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.293289184570312 × 2 - 1) × π
    0.413421630859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.2988023583058
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16336895} λ = -0.16336895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.2988023583058))-π/2
    2×atan(3.66490479541131)-π/2
    2×1.30442224736494-π/2
    2.60884449472989-1.57079632675     		φ = 1.03804817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16336895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.360351°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03804817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.475779°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31064 KachelY 19221 -0.16336895 1.03804817 -9.360351 59.475779
    Oben rechts KachelX + 1 31065 KachelY 19221 -0.16327308 1.03804817 -9.354858 59.475779
    Unten links KachelX 31064 KachelY + 1 19222 -0.16336895 1.03799947 -9.360351 59.472989
    Unten rechts KachelX + 1 31065 KachelY + 1 19222 -0.16327308 1.03799947 -9.354858 59.472989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03804817-1.03799947) × R
    4.87000000000126e-05 × 6371000     		dl = 310.26770000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03804817-1.03799947) × R
    4.87000000000126e-05 × 6371000     		dr = 310.26770000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16336895--0.16327308) × cos(1.03804817) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.507902558348613 × 6371000     		do = 310.220670991127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16336895--0.16327308) × cos(1.03799947) × R
    9.58700000000257e-05 × 0.507944508633878 × 6371000     		du = 310.246293712315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03804817)-sin(1.03799947))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.507902558348613-0.507944508633878)×R²
    abs(-0.16327308--0.16336895)×4.19502852647691e-05×R²
    9.58700000000257e-05×4.19502852647691e-05×6371000²
    9.58700000000257e-05×4.19502852647691e-05×40589641000000     		ar = 96255.4290515439m²