Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31062 / 19186
↖ ↑ ↗
← N 59.573288°
W  9.371338°		 ← 309.32 m → N 59.573288°
W  9.365845°		 →
↑
309.38 m
↓
↑
309.38 m
↓
N 59.570506°
W  9.371338°		 ← 309.35 m →
95 702 m²		 N 59.570506°
W  9.365845°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473976135253906 y=0.292762756347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473976135253906 × 216)
    floor (0.473976135253906 × 65536)
    floor (31062.5)     		tx = 31062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292762756347656 × 216)
    floor (0.292762756347656 × 65536)
    floor (19186.5)     		ty = 19186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31062 / 19186 ti = "16/31062/19186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31062/19186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31062 ÷ 216
    31062 ÷ 65536     		x = 0.473968505859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19186 ÷ 216
    19186 ÷ 65536     		y = 0.292755126953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473968505859375 × 2 - 1) × π
    -0.05206298828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16356070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292755126953125 × 2 - 1) × π
    0.41448974609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.30215794127921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16356070} λ = -0.16356070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30215794127921))-π/2
    2×atan(3.67722334393895)-π/2
    2×1.30527317113431-π/2
    2.61054634226863-1.57079632675     		φ = 1.03975002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16356070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.371338°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03975002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.573288°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31062 KachelY 19186 -0.16356070 1.03975002 -9.371338 59.573288
    Oben rechts KachelX + 1 31063 KachelY 19186 -0.16346483 1.03975002 -9.365845 59.573288
    Unten links KachelX 31062 KachelY + 1 19187 -0.16356070 1.03970146 -9.371338 59.570506
    Unten rechts KachelX + 1 31063 KachelY + 1 19187 -0.16346483 1.03970146 -9.365845 59.570506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03975002-1.03970146) × R
    4.85599999999753e-05 × 6371000     		dl = 309.375759999843m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03975002-1.03970146) × R
    4.85599999999753e-05 × 6371000     		dr = 309.375759999843m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16356070--0.16346483) × cos(1.03975002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.506435825222407 × 6371000     		do = 309.324808335697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16356070--0.16346483) × cos(1.03970146) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.506477696828229 × 6371000     		du = 309.350383000443m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03975002)-sin(1.03970146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506435825222407-0.506477696828229)×R²
    abs(-0.16346483--0.16356070)×4.18716058212532e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.18716058212532e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.18716058212532e-05×40589641000000     		ar = 95701.5537748646m²