Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31061 / 17538
↖ ↑ ↗
← N 63.855195°
W  9.376831°		 ← 269.17 m → N 63.855195°
W  9.371338°		 →
↑
269.17 m
↓
↑
269.17 m
↓
N 63.852774°
W  9.376831°		 ← 269.19 m →
72 456 m²		 N 63.852774°
W  9.371338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17538 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473960876464844 y=0.267616271972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473960876464844 × 216)
    floor (0.473960876464844 × 65536)
    floor (31061.5)     		tx = 31061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267616271972656 × 216)
    floor (0.267616271972656 × 65536)
    floor (17538.5)     		ty = 17538
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31061 / 17538 ti = "16/31061/17538"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31061/17538.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31061 ÷ 216
    31061 ÷ 65536     		x = 0.473953247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17538 ÷ 216
    17538 ÷ 65536     		y = 0.267608642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473953247070312 × 2 - 1) × π
    -0.052093505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16365658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267608642578125 × 2 - 1) × π
    0.46478271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46015796242691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16365658} λ = -0.16365658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46015796242691))-π/2
    2×atan(4.30663976188674)-π/2
    2×1.3426398644782-π/2
    2.68527972895639-1.57079632675     		φ = 1.11448340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16365658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.376831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11448340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.855195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31061 KachelY 17538 -0.16365658 1.11448340 -9.376831 63.855195
    Oben rechts KachelX + 1 31062 KachelY 17538 -0.16356070 1.11448340 -9.371338 63.855195
    Unten links KachelX 31061 KachelY + 1 17539 -0.16365658 1.11444115 -9.376831 63.852774
    Unten rechts KachelX + 1 31062 KachelY + 1 17539 -0.16356070 1.11444115 -9.371338 63.852774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11448340-1.11444115) × R
    4.22499999999104e-05 × 6371000     		dl = 269.174749999429m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11448340-1.11444115) × R
    4.22499999999104e-05 × 6371000     		dr = 269.174749999429m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16365658--0.16356070) × cos(1.11448340) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.440641285672328 × 6371000     		do = 269.166381502024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16365658--0.16356070) × cos(1.11444115) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.440679212397285 × 6371000     		du = 269.189549098095m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11448340)-sin(1.11444115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440641285672328-0.440679212397285)×R²
    abs(-0.16356070--0.16365658)×3.79267249570603e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.79267249570603e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.79267249570603e-05×40589641000000     		ar = 72455.9115259162m²