Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31058 / 17519
↖ ↑ ↗
← N 63.901148°
W  9.393311°		 ← 268.73 m → N 63.901148°
W  9.387817°		 →
↑
268.73 m
↓
↑
268.73 m
↓
N 63.898731°
W  9.393311°		 ← 268.75 m →
72 218 m²		 N 63.898731°
W  9.387817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17519 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473915100097656 y=0.267326354980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473915100097656 × 216)
    floor (0.473915100097656 × 65536)
    floor (31058.5)     		tx = 31058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267326354980469 × 216)
    floor (0.267326354980469 × 65536)
    floor (17519.5)     		ty = 17519
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31058 / 17519 ti = "16/31058/17519"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31058/17519.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31058 ÷ 216
    31058 ÷ 65536     		x = 0.473907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17519 ÷ 216
    17519 ÷ 65536     		y = 0.267318725585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16394420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267318725585938 × 2 - 1) × π
    0.465362548828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.46197956461247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16394420} λ = -0.16394420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46197956461247))-π/2
    2×atan(4.31449189585035)-π/2
    2×1.34304087303957-π/2
    2.68608174607914-1.57079632675     		φ = 1.11528542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16394420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.393311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11528542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.901148°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31058 KachelY 17519 -0.16394420 1.11528542 -9.393311 63.901148
    Oben rechts KachelX + 1 31059 KachelY 17519 -0.16384832 1.11528542 -9.387817 63.901148
    Unten links KachelX 31058 KachelY + 1 17520 -0.16394420 1.11524324 -9.393311 63.898731
    Unten rechts KachelX + 1 31059 KachelY + 1 17520 -0.16384832 1.11524324 -9.387817 63.898731
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11528542-1.11524324) × R
    4.21799999998917e-05 × 6371000     		dl = 268.72877999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11528542-1.11524324) × R
    4.21799999998917e-05 × 6371000     		dr = 268.72877999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16394420--0.16384832) × cos(1.11528542) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.439921184093286 × 6371000     		do = 268.726506386793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16394420--0.16384832) × cos(1.11524324) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.439959062876721 × 6371000     		du = 268.749644697715m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11528542)-sin(1.11524324))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439921184093286-0.439959062876721)×R²
    abs(-0.16384832--0.16394420)×3.78787834350858e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.78787834350858e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.78787834350858e-05×40589641000000     		ar = 72217.6551905646m²