Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31058 / 17518
↖ ↑ ↗
← N 63.903564°
W  9.393311°		 ← 268.70 m → N 63.903564°
W  9.387817°		 →
↑
268.67 m
↓
↑
268.67 m
↓
N 63.901148°
W  9.393311°		 ← 268.73 m →
72 194 m²		 N 63.901148°
W  9.387817°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17518 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473915100097656 y=0.267311096191406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473915100097656 × 216)
    floor (0.473915100097656 × 65536)
    floor (31058.5)     		tx = 31058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267311096191406 × 216)
    floor (0.267311096191406 × 65536)
    floor (17518.5)     		ty = 17518
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31058 / 17518 ti = "16/31058/17518"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31058/17518.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31058 ÷ 216
    31058 ÷ 65536     		x = 0.473907470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17518 ÷ 216
    17518 ÷ 65536     		y = 0.267303466796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473907470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05218505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16394420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267303466796875 × 2 - 1) × π
    0.46539306640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.46207543841171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16394420} λ = -0.16394420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46207543841171))-π/2
    2×atan(4.31490556240977)-π/2
    2×1.34306196058943-π/2
    2.68612392117885-1.57079632675     		φ = 1.11532759
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16394420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.393311°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11532759 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.903564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31058 KachelY 17518 -0.16394420 1.11532759 -9.393311 63.903564
    Oben rechts KachelX + 1 31059 KachelY 17518 -0.16384832 1.11532759 -9.387817 63.903564
    Unten links KachelX 31058 KachelY + 1 17519 -0.16394420 1.11528542 -9.393311 63.901148
    Unten rechts KachelX + 1 31059 KachelY + 1 17519 -0.16384832 1.11528542 -9.387817 63.901148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11532759-1.11528542) × R
    4.21699999999525e-05 × 6371000     		dl = 268.665069999698m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11532759-1.11528542) × R
    4.21699999999525e-05 × 6371000     		dr = 268.665069999698m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16394420--0.16384832) × cos(1.11532759) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.439883313507713 × 6371000     		do = 268.703373083548m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16394420--0.16384832) × cos(1.11528542) × R
    9.58800000000204e-05 × 0.439921184093286 × 6371000     		du = 268.726506386793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11532759)-sin(1.11528542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439883313507713-0.439921184093286)×R²
    abs(-0.16384832--0.16394420)×3.78705855725303e-05×R²
    9.58800000000204e-05×3.78705855725303e-05×6371000²
    9.58800000000204e-05×3.78705855725303e-05×40589641000000     		ar = 72194.3181045449m²