Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31057 / 17520
↖ ↑ ↗
← N 63.898731°
W  9.398804°		 ← 268.72 m → N 63.898731°
W  9.393311°		 →
↑
268.73 m
↓
↑
268.73 m
↓
N 63.896314°
W  9.398804°		 ← 268.74 m →
72 216 m²		 N 63.896314°
W  9.393311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473899841308594 y=0.267341613769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473899841308594 × 216)
    floor (0.473899841308594 × 65536)
    floor (31057.5)     		tx = 31057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267341613769531 × 216)
    floor (0.267341613769531 × 65536)
    floor (17520.5)     		ty = 17520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31057 / 17520 ti = "16/31057/17520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31057/17520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31057 ÷ 216
    31057 ÷ 65536     		x = 0.473892211914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17520 ÷ 216
    17520 ÷ 65536     		y = 0.267333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473892211914062 × 2 - 1) × π
    -0.052215576171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16404007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267333984375 × 2 - 1) × π
    0.46533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.46188369081323
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16404007} λ = -0.16404007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46188369081323))-π/2
    2×atan(4.31407826894881)-π/2
    2×1.34301978367404-π/2
    2.68603956734808-1.57079632675     		φ = 1.11524324
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16404007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.398804°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11524324 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.898731°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31057 KachelY 17520 -0.16404007 1.11524324 -9.398804 63.898731
    Oben rechts KachelX + 1 31058 KachelY 17520 -0.16394420 1.11524324 -9.393311 63.898731
    Unten links KachelX 31057 KachelY + 1 17521 -0.16404007 1.11520106 -9.398804 63.896314
    Unten rechts KachelX + 1 31058 KachelY + 1 17521 -0.16394420 1.11520106 -9.393311 63.896314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11524324-1.11520106) × R
    4.21800000001138e-05 × 6371000     		dl = 268.728780000725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11524324-1.11520106) × R
    4.21800000001138e-05 × 6371000     		dr = 268.728780000725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16404007--0.16394420) × cos(1.11524324) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.439959062876721 × 6371000     		do = 268.721614905756m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16404007--0.16394420) × cos(1.11520106) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.439996940877402 × 6371000     		du = 268.744750325324m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11524324)-sin(1.11520106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439959062876721-0.439996940877402)×R²
    abs(-0.16394420--0.16404007)×3.7878000681002e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.7878000681002e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.7878000681002e-05×40589641000000     		ar = 72216.340320545m²