Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31056 / 19760
↖ ↑ ↗
← N 57.938183°
W  9.404297°		 ← 324.23 m → N 57.938183°
W  9.398804°		 →
↑
324.28 m
↓
↑
324.28 m
↓
N 57.935267°
W  9.404297°		 ← 324.25 m →
105 146 m²		 N 57.935267°
W  9.398804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19760 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473884582519531 y=0.301521301269531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473884582519531 × 216)
    floor (0.473884582519531 × 65536)
    floor (31056.5)     		tx = 31056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301521301269531 × 216)
    floor (0.301521301269531 × 65536)
    floor (19760.5)     		ty = 19760
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31056 / 19760 ti = "16/31056/19760"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31056/19760.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31056 ÷ 216
    31056 ÷ 65536     		x = 0.473876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19760 ÷ 216
    19760 ÷ 65536     		y = 0.301513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.05224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16413594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301513671875 × 2 - 1) × π
    0.39697265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.24712638051538
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16413594} λ = -0.16413594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24712638051538))-π/2
    2×atan(3.48032743722042)-π/2
    2×1.291004191481-π/2
    2.582008382962-1.57079632675     		φ = 1.01121206
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16413594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.404297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01121206 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.938183°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31056 KachelY 19760 -0.16413594 1.01121206 -9.404297 57.938183
    Oben rechts KachelX + 1 31057 KachelY 19760 -0.16404007 1.01121206 -9.398804 57.938183
    Unten links KachelX 31056 KachelY + 1 19761 -0.16413594 1.01116116 -9.404297 57.935267
    Unten rechts KachelX + 1 31057 KachelY + 1 19761 -0.16404007 1.01116116 -9.398804 57.935267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01121206-1.01116116) × R
    5.09000000001869e-05 × 6371000     		dl = 324.283900001191m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01121206-1.01116116) × R
    5.09000000001869e-05 × 6371000     		dr = 324.283900001191m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16413594--0.16404007) × cos(1.01121206) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.530833919944645 × 6371000     		do = 324.226866203341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16413594--0.16404007) × cos(1.01116116) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.530877055778741 × 6371000     		du = 324.253213043255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01121206)-sin(1.01116116))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530833919944645-0.530877055778741)×R²
    abs(-0.16404007--0.16413594)×4.31358340957644e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.31358340957644e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.31358340957644e-05×40589641000000     		ar = 105145.824607953m²