Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31055 / 12743
↖ ↑ ↗
← N 73.316823°
W  9.409790°		 ← 175.36 m → N 73.316823°
W  9.404297°		 →
↑
175.39 m
↓
↑
175.39 m
↓
N 73.315246°
W  9.409790°		 ← 175.38 m →
30 759 m²		 N 73.315246°
W  9.404297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31055 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473869323730469 y=0.194450378417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473869323730469 × 216)
    floor (0.473869323730469 × 65536)
    floor (31055.5)     		tx = 31055
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194450378417969 × 216)
    floor (0.194450378417969 × 65536)
    floor (12743.5)     		ty = 12743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31055 / 12743 ti = "16/31055/12743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31055/12743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31055 ÷ 216
    31055 ÷ 65536     		x = 0.473861694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12743 ÷ 216
    12743 ÷ 65536     		y = 0.194442749023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473861694335938 × 2 - 1) × π
    -0.052276611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16423182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194442749023438 × 2 - 1) × π
    0.611114501953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.91987282978325
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16423182} λ = -0.16423182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91987282978325))-π/2
    2×atan(6.82009110167659)-π/2
    2×1.42520814114043-π/2
    2.85041628228085-1.57079632675     		φ = 1.27961996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16423182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.409790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27961996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.316823°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31055 KachelY 12743 -0.16423182 1.27961996 -9.409790 73.316823
    Oben rechts KachelX + 1 31056 KachelY 12743 -0.16413594 1.27961996 -9.404297 73.316823
    Unten links KachelX 31055 KachelY + 1 12744 -0.16423182 1.27959243 -9.409790 73.315246
    Unten rechts KachelX + 1 31056 KachelY + 1 12744 -0.16413594 1.27959243 -9.404297 73.315246
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27961996-1.27959243) × R
    2.75300000001089e-05 × 6371000     		dl = 175.393630000694m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27961996-1.27959243) × R
    2.75300000001089e-05 × 6371000     		dr = 175.393630000694m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16423182--0.16413594) × cos(1.27961996) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.28707927326554 × 6371000     		do = 175.362798951566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16423182--0.16413594) × cos(1.27959243) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.287105644331718 × 6371000     		du = 175.37890775637m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27961996)-sin(1.27959243))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.28707927326554-0.287105644331718)×R²
    abs(-0.16413594--0.16423182)×2.63710661789207e-05×R²
    9.58799999999926e-05×2.63710661789207e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×2.63710661789207e-05×40589641000000     		ar = 30758.9305680763m²