Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31054 / 19178
↖ ↑ ↗
← N 59.595536°
W  9.415283°		 ← 309.12 m → N 59.595536°
W  9.409790°		 →
↑
309.18 m
↓
↑
309.18 m
↓
N 59.592755°
W  9.415283°		 ← 309.15 m →
95 579 m²		 N 59.592755°
W  9.409790°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473854064941406 y=0.292640686035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473854064941406 × 216)
    floor (0.473854064941406 × 65536)
    floor (31054.5)     		tx = 31054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292640686035156 × 216)
    floor (0.292640686035156 × 65536)
    floor (19178.5)     		ty = 19178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31054 / 19178 ti = "16/31054/19178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31054/19178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31054 ÷ 216
    31054 ÷ 65536     		x = 0.473846435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19178 ÷ 216
    19178 ÷ 65536     		y = 0.292633056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473846435546875 × 2 - 1) × π
    -0.05230712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16432769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292633056640625 × 2 - 1) × π
    0.41473388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.30292493167313
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16432769} λ = -0.16432769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30292493167313))-π/2
    2×atan(3.68004482080456)-π/2
    2×1.3054673226285-π/2
    2.61093464525701-1.57079632675     		φ = 1.04013832
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16432769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.415283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.04013832 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.595536°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31054 KachelY 19178 -0.16432769 1.04013832 -9.415283 59.595536
    Oben rechts KachelX + 1 31055 KachelY 19178 -0.16423182 1.04013832 -9.409790 59.595536
    Unten links KachelX 31054 KachelY + 1 19179 -0.16432769 1.04008979 -9.415283 59.592755
    Unten rechts KachelX + 1 31055 KachelY + 1 19179 -0.16423182 1.04008979 -9.409790 59.592755
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.04013832-1.04008979) × R
    4.85300000001576e-05 × 6371000     		dl = 309.184630001004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.04013832-1.04008979) × R
    4.85300000001576e-05 × 6371000     		dr = 309.184630001004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16432769--0.16423182) × cos(1.04013832) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.506100964637836 × 6371000     		do = 309.120279585986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16432769--0.16423182) × cos(1.04008979) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.506142819916683 × 6371000     		du = 309.145844278415m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.04013832)-sin(1.04008979))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506100964637836-0.506142819916683)×R²
    abs(-0.16423182--0.16432769)×4.18552788462589e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.18552788462589e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.18552788462589e-05×40589641000000     		ar = 95579.1913937469m²