Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31053 / 38151
↖ ↑ ↗
← S 28.338230°
W  9.420777°		 ← 537.65 m → S 28.338230°
W  9.415283°		 →
↑
537.58 m
↓
↑
537.58 m
↓
S 28.343065°
W  9.420777°		 ← 537.62 m →
289 025 m²		 S 28.343065°
W  9.415283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38151 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473838806152344 y=0.582145690917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473838806152344 × 216)
    floor (0.473838806152344 × 65536)
    floor (31053.5)     		tx = 31053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582145690917969 × 216)
    floor (0.582145690917969 × 65536)
    floor (38151.5)     		ty = 38151
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31053 / 38151 ti = "16/31053/38151"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31053/38151.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31053 ÷ 216
    31053 ÷ 65536     		x = 0.473831176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38151 ÷ 216
    38151 ÷ 65536     		y = 0.582138061523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473831176757812 × 2 - 1) × π
    -0.052337646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16442357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582138061523438 × 2 - 1) × π
    -0.164276123046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.516088661309525
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16442357} λ = -0.16442357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.516088661309525))-π/2
    2×atan(0.596850472783912)-π/2
    2×0.538100453277181-π/2
    1.07620090655436-1.57079632675     		φ = -0.49459542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16442357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.420777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49459542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.338230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31053 KachelY 38151 -0.16442357 -0.49459542 -9.420777 -28.338230
    Oben rechts KachelX + 1 31054 KachelY 38151 -0.16432769 -0.49459542 -9.415283 -28.338230
    Unten links KachelX 31053 KachelY + 1 38152 -0.16442357 -0.49467980 -9.420777 -28.343065
    Unten rechts KachelX + 1 31054 KachelY + 1 38152 -0.16432769 -0.49467980 -9.415283 -28.343065
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49459542--0.49467980) × R
    8.4379999999995e-05 × 6371000     		dl = 537.584979999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49459542--0.49467980) × R
    8.4379999999995e-05 × 6371000     		dr = 537.584979999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16442357--0.16432769) × cos(-0.49459542) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.880160826117605 × 6371000     		do = 537.64754327192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16442357--0.16432769) × cos(-0.49467980) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.880120769857609 × 6371000     		du = 537.623074846219m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49459542)-sin(-0.49467980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880160826117605-0.880120769857609)×R²
    abs(-0.16432769--0.16442357)×4.00562599957022e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.00562599957022e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.00562599957022e-05×40589641000000     		ar = 289024.667039354m²