Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31052 / 17500
↖ ↑ ↗
← N 63.947025°
W  9.426270°		 ← 268.26 m → N 63.947025°
W  9.420777°		 →
↑
268.28 m
↓
↑
268.28 m
↓
N 63.944612°
W  9.426270°		 ← 268.28 m →
71 972 m²		 N 63.944612°
W  9.420777°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473823547363281 y=0.267036437988281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473823547363281 × 216)
    floor (0.473823547363281 × 65536)
    floor (31052.5)     		tx = 31052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267036437988281 × 216)
    floor (0.267036437988281 × 65536)
    floor (17500.5)     		ty = 17500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31052 / 17500 ti = "16/31052/17500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31052/17500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31052 ÷ 216
    31052 ÷ 65536     		x = 0.47381591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17500 ÷ 216
    17500 ÷ 65536     		y = 0.26702880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.0523681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16451944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26702880859375 × 2 - 1) × π
    0.4659423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.46380116679803
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16451944} λ = -0.16451944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46380116679803))-π/2
    2×atan(4.32235834631387)-π/2
    2×1.34344122614143-π/2
    2.68688245228286-1.57079632675     		φ = 1.11608613
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16451944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.426270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11608613 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.947025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31052 KachelY 17500 -0.16451944 1.11608613 -9.426270 63.947025
    Oben rechts KachelX + 1 31053 KachelY 17500 -0.16442357 1.11608613 -9.420777 63.947025
    Unten links KachelX 31052 KachelY + 1 17501 -0.16451944 1.11604402 -9.426270 63.944612
    Unten rechts KachelX + 1 31053 KachelY + 1 17501 -0.16442357 1.11604402 -9.420777 63.944612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11608613-1.11604402) × R
    4.21100000000951e-05 × 6371000     		dl = 268.282810000606m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11608613-1.11604402) × R
    4.21100000000951e-05 × 6371000     		dr = 268.282810000606m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16451944--0.16442357) × cos(1.11608613) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.439201976430193 × 6371000     		do = 268.259195763384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16451944--0.16442357) × cos(1.11604402) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.43923980717411 × 6371000     		du = 268.282302319099m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11608613)-sin(1.11604402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439201976430193-0.43923980717411)×R²
    abs(-0.16442357--0.16451944)×3.78307439171111e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.78307439171111e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.78307439171111e-05×40589641000000     		ar = 71972.4304040794m²