Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31051 / 37200
↖ ↑ ↗
← S 23.644524°
W  9.431763°		 ← 559.51 m → S 23.644524°
W  9.426270°		 →
↑
559.50 m
↓
↑
559.50 m
↓
S 23.649556°
W  9.431763°		 ← 559.49 m →
313 042 m²		 S 23.649556°
W  9.426270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37200 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473808288574219 y=0.567634582519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473808288574219 × 216)
    floor (0.473808288574219 × 65536)
    floor (31051.5)     		tx = 31051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567634582519531 × 216)
    floor (0.567634582519531 × 65536)
    floor (37200.5)     		ty = 37200
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31051 / 37200 ti = "16/31051/37200"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31051/37200.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31051 ÷ 216
    31051 ÷ 65536     		x = 0.473800659179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37200 ÷ 216
    37200 ÷ 65536     		y = 0.567626953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473800659179688 × 2 - 1) × π
    -0.052398681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16461531
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567626953125 × 2 - 1) × π
    -0.13525390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.424912678232178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16461531} λ = -0.16461531}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.424912678232178))-π/2
    2×atan(0.653826875955833)-π/2
    2×0.579060764736719-π/2
    1.15812152947344-1.57079632675     		φ = -0.41267480
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16461531} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.431763°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41267480 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.644524°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31051 KachelY 37200 -0.16461531 -0.41267480 -9.431763 -23.644524
    Oben rechts KachelX + 1 31052 KachelY 37200 -0.16451944 -0.41267480 -9.426270 -23.644524
    Unten links KachelX 31051 KachelY + 1 37201 -0.16461531 -0.41276262 -9.431763 -23.649556
    Unten rechts KachelX + 1 31052 KachelY + 1 37201 -0.16451944 -0.41276262 -9.426270 -23.649556
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41267480--0.41276262) × R
    8.78200000000162e-05 × 6371000     		dl = 559.501220000103m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41267480--0.41276262) × R
    8.78200000000162e-05 × 6371000     		dr = 559.501220000103m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16461531--0.16451944) × cos(-0.41267480) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.91605134306373 × 6371000     		do = 559.512957035388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16461531--0.16451944) × cos(-0.41276262) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.916016118353079 × 6371000     		du = 559.491442212921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41267480)-sin(-0.41276262))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91605134306373-0.916016118353079)×R²
    abs(-0.16451944--0.16461531)×3.52247106508718e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52247106508718e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52247106508718e-05×40589641000000     		ar = 313042.163483634m²