Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31049 / 14027
↖ ↑ ↗
← N 71.168259°
W  9.442749°		 ← 197.16 m → N 71.168259°
W  9.437256°		 →
↑
197.12 m
↓
↑
197.12 m
↓
N 71.166486°
W  9.442749°		 ← 197.17 m →
38 865 m²		 N 71.166486°
W  9.437256°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31049 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473777770996094 y=0.214042663574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473777770996094 × 216)
    floor (0.473777770996094 × 65536)
    floor (31049.5)     		tx = 31049
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.214042663574219 × 216)
    floor (0.214042663574219 × 65536)
    floor (14027.5)     		ty = 14027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31049 / 14027 ti = "16/31049/14027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31049/14027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31049 ÷ 216
    31049 ÷ 65536     		x = 0.473770141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14027 ÷ 216
    14027 ÷ 65536     		y = 0.214035034179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473770141601562 × 2 - 1) × π
    -0.052459716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16480706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.214035034179688 × 2 - 1) × π
    0.571929931640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.79677087155894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16480706} λ = -0.16480706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79677087155894))-π/2
    2×atan(6.03014388246027)-π/2
    2×1.40645838568881-π/2
    2.81291677137761-1.57079632675     		φ = 1.24212044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16480706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.442749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24212044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.168259°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31049 KachelY 14027 -0.16480706 1.24212044 -9.442749 71.168259
    Oben rechts KachelX + 1 31050 KachelY 14027 -0.16471119 1.24212044 -9.437256 71.168259
    Unten links KachelX 31049 KachelY + 1 14028 -0.16480706 1.24208950 -9.442749 71.166486
    Unten rechts KachelX + 1 31050 KachelY + 1 14028 -0.16471119 1.24208950 -9.437256 71.166486
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24212044-1.24208950) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dl = 197.118740000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24212044-1.24208950) × R
    3.09400000000348e-05 × 6371000     		dr = 197.118740000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16480706--0.16471119) × cos(1.24212044) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.322790077532905 × 6371000     		do = 197.156231634446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16480706--0.16471119) × cos(1.24208950) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.32281936117826 × 6371000     		du = 197.17411772689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24212044)-sin(1.24208950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322790077532905-0.32281936117826)×R²
    abs(-0.16471119--0.16480706)×2.92836453548162e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.92836453548162e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.92836453548162e-05×40589641000000     		ar = 38864.9508083269m²