Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31048 / 37206
↖ ↑ ↗
← S 23.674713°
W  9.448242°		 ← 559.38 m → S 23.674713°
W  9.442749°		 →
↑
559.37 m
↓
↑
559.37 m
↓
S 23.679743°
W  9.448242°		 ← 559.36 m →
312 899 m²		 S 23.679743°
W  9.442749°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473762512207031 y=0.567726135253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473762512207031 × 216)
    floor (0.473762512207031 × 65536)
    floor (31048.5)     		tx = 31048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567726135253906 × 216)
    floor (0.567726135253906 × 65536)
    floor (37206.5)     		ty = 37206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31048 / 37206 ti = "16/31048/37206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31048/37206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31048 ÷ 216
    31048 ÷ 65536     		x = 0.4737548828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37206 ÷ 216
    37206 ÷ 65536     		y = 0.567718505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4737548828125 × 2 - 1) × π
    -0.052490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16490293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567718505859375 × 2 - 1) × π
    -0.13543701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.425487921027618
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16490293} λ = -0.16490293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.425487921027618))-π/2
    2×atan(0.653450874912288)-π/2
    2×0.578797319171523-π/2
    1.15759463834305-1.57079632675     		φ = -0.41320169
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16490293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.448242°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41320169 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.674713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31048 KachelY 37206 -0.16490293 -0.41320169 -9.448242 -23.674713
    Oben rechts KachelX + 1 31049 KachelY 37206 -0.16480706 -0.41320169 -9.442749 -23.674713
    Unten links KachelX 31048 KachelY + 1 37207 -0.16490293 -0.41328949 -9.448242 -23.679743
    Unten rechts KachelX + 1 31049 KachelY + 1 37207 -0.16480706 -0.41328949 -9.442749 -23.679743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41320169--0.41328949) × R
    8.77999999999712e-05 × 6371000     		dl = 559.373799999817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41320169--0.41328949) × R
    8.77999999999712e-05 × 6371000     		dr = 559.373799999817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16490293--0.16480706) × cos(-0.41320169) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915839900881982 × 6371000     		do = 559.383810736715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16490293--0.16480706) × cos(-0.41328949) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.915804641822467 × 6371000     		du = 559.362274934381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41320169)-sin(-0.41328949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915839900881982-0.915804641822467)×R²
    abs(-0.16480706--0.16490293)×3.52590595151803e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.52590595151803e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.52590595151803e-05×40589641000000     		ar = 312898.624789414m²