Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31047 / 37213
↖ ↑ ↗
← S 23.709924°
W  9.453735°		 ← 559.29 m → S 23.709924°
W  9.448242°		 →
↑
559.25 m
↓
↑
559.25 m
↓
S 23.714953°
W  9.453735°		 ← 559.27 m →
312 776 m²		 S 23.714953°
W  9.448242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473747253417969 y=0.567832946777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473747253417969 × 216)
    floor (0.473747253417969 × 65536)
    floor (31047.5)     		tx = 31047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567832946777344 × 216)
    floor (0.567832946777344 × 65536)
    floor (37213.5)     		ty = 37213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31047 / 37213 ti = "16/31047/37213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31047/37213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31047 ÷ 216
    31047 ÷ 65536     		x = 0.473739624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37213 ÷ 216
    37213 ÷ 65536     		y = 0.567825317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473739624023438 × 2 - 1) × π
    -0.052520751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16499881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567825317382812 × 2 - 1) × π
    -0.135650634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.426159037622299
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16499881} λ = -0.16499881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.426159037622299))-π/2
    2×atan(0.653012480309727)-π/2
    2×0.578490042917542-π/2
    1.15698008583508-1.57079632675     		φ = -0.41381624
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16499881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.453735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41381624 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.709924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31047 KachelY 37213 -0.16499881 -0.41381624 -9.453735 -23.709924
    Oben rechts KachelX + 1 31048 KachelY 37213 -0.16490293 -0.41381624 -9.448242 -23.709924
    Unten links KachelX 31047 KachelY + 1 37214 -0.16499881 -0.41390402 -9.453735 -23.714953
    Unten rechts KachelX + 1 31048 KachelY + 1 37214 -0.16490293 -0.41390402 -9.448242 -23.714953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41381624--0.41390402) × R
    8.77799999999818e-05 × 6371000     		dl = 559.246379999884m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41381624--0.41390402) × R
    8.77799999999818e-05 × 6371000     		dr = 559.246379999884m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16499881--0.16490293) × cos(-0.41381624) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.915592959324593 × 6371000     		do = 559.291314280964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16499881--0.16490293) × cos(-0.41390402) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.915557658900003 × 6371000     		du = 559.269750964359m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41381624)-sin(-0.41390402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915592959324593-0.915557658900003)×R²
    abs(-0.16490293--0.16499881)×3.53004245899902e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.53004245899902e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.53004245899902e-05×40589641000000     		ar = 312775.613474568m²