Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31047 / 37207
↖ ↑ ↗
← S 23.679743°
W  9.453735°		 ← 559.42 m → S 23.679743°
W  9.448242°		 →
↑
559.37 m
↓
↑
559.37 m
↓
S 23.684774°
W  9.453735°		 ← 559.40 m →
312 919 m²		 S 23.684774°
W  9.448242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473747253417969 y=0.567741394042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473747253417969 × 216)
    floor (0.473747253417969 × 65536)
    floor (31047.5)     		tx = 31047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567741394042969 × 216)
    floor (0.567741394042969 × 65536)
    floor (37207.5)     		ty = 37207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31047 / 37207 ti = "16/31047/37207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31047/37207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31047 ÷ 216
    31047 ÷ 65536     		x = 0.473739624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37207 ÷ 216
    37207 ÷ 65536     		y = 0.567733764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473739624023438 × 2 - 1) × π
    -0.052520751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16499881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567733764648438 × 2 - 1) × π
    -0.135467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.425583794826859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16499881} λ = -0.16499881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.425583794826859))-π/2
    2×atan(0.653388229097388)-π/2
    2×0.578753417491211-π/2
    1.15750683498242-1.57079632675     		φ = -0.41328949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16499881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.453735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41328949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.679743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31047 KachelY 37207 -0.16499881 -0.41328949 -9.453735 -23.679743
    Oben rechts KachelX + 1 31048 KachelY 37207 -0.16490293 -0.41328949 -9.448242 -23.679743
    Unten links KachelX 31047 KachelY + 1 37208 -0.16499881 -0.41337729 -9.453735 -23.684774
    Unten rechts KachelX + 1 31048 KachelY + 1 37208 -0.16490293 -0.41337729 -9.448242 -23.684774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41328949--0.41337729) × R
    8.78000000000267e-05 × 6371000     		dl = 559.37380000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41328949--0.41337729) × R
    8.78000000000267e-05 × 6371000     		dr = 559.37380000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16499881--0.16490293) × cos(-0.41328949) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.915804641822467 × 6371000     		do = 559.420620848081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16499881--0.16490293) × cos(-0.41337729) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.915769375703161 × 6371000     		du = 559.399078486909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41328949)-sin(-0.41337729))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915804641822467-0.915769375703161)×R²
    abs(-0.16490293--0.16499881)×3.52661193064874e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.52661193064874e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.52661193064874e-05×40589641000000     		ar = 312919.213566863m²