Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31047 / 17530
↖ ↑ ↗
← N 63.874553°
W  9.453735°		 ← 268.98 m → N 63.874553°
W  9.448242°		 →
↑
268.98 m
↓
↑
268.98 m
↓
N 63.872134°
W  9.453735°		 ← 269 m →
72 355 m²		 N 63.872134°
W  9.448242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17530 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473747253417969 y=0.267494201660156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473747253417969 × 216)
    floor (0.473747253417969 × 65536)
    floor (31047.5)     		tx = 31047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267494201660156 × 216)
    floor (0.267494201660156 × 65536)
    floor (17530.5)     		ty = 17530
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31047 / 17530 ti = "16/31047/17530"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31047/17530.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31047 ÷ 216
    31047 ÷ 65536     		x = 0.473739624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17530 ÷ 216
    17530 ÷ 65536     		y = 0.267486572265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473739624023438 × 2 - 1) × π
    -0.052520751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16499881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267486572265625 × 2 - 1) × π
    0.46502685546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.46092495282083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16499881} λ = -0.16499881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46092495282083))-π/2
    2×atan(4.30994418028077)-π/2
    2×1.34280879013033-π/2
    2.68561758026065-1.57079632675     		φ = 1.11482125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16499881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.453735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11482125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.874553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31047 KachelY 17530 -0.16499881 1.11482125 -9.453735 63.874553
    Oben rechts KachelX + 1 31048 KachelY 17530 -0.16490293 1.11482125 -9.448242 63.874553
    Unten links KachelX 31047 KachelY + 1 17531 -0.16499881 1.11477903 -9.453735 63.872134
    Unten rechts KachelX + 1 31048 KachelY + 1 17531 -0.16490293 1.11477903 -9.448242 63.872134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11482125-1.11477903) × R
    4.22200000000927e-05 × 6371000     		dl = 268.983620000591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11482125-1.11477903) × R
    4.22200000000927e-05 × 6371000     		dr = 268.983620000591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16499881--0.16490293) × cos(1.11482125) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.440337978236576 × 6371000     		do = 268.981105706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16499881--0.16490293) × cos(1.11477903) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.44037588431502 × 6371000     		du = 269.004260690118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11482125)-sin(1.11477903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440337978236576-0.44037588431502)×R²
    abs(-0.16490293--0.16499881)×3.79060784437835e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.79060784437835e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.79060784437835e-05×40589641000000     		ar = 72354.6256914402m²