Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31047 / 17508
↖ ↑ ↗
← N 63.927717°
W  9.453735°		 ← 268.47 m → N 63.927717°
W  9.448242°		 →
↑
268.47 m
↓
↑
268.47 m
↓
N 63.925303°
W  9.453735°		 ← 268.50 m →
72 081 m²		 N 63.925303°
W  9.448242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17508 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473747253417969 y=0.267158508300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473747253417969 × 216)
    floor (0.473747253417969 × 65536)
    floor (31047.5)     		tx = 31047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267158508300781 × 216)
    floor (0.267158508300781 × 65536)
    floor (17508.5)     		ty = 17508
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31047 / 17508 ti = "16/31047/17508"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31047/17508.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31047 ÷ 216
    31047 ÷ 65536     		x = 0.473739624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17508 ÷ 216
    17508 ÷ 65536     		y = 0.26715087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473739624023438 × 2 - 1) × π
    -0.052520751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16499881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26715087890625 × 2 - 1) × π
    0.4656982421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.46303417640411
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16499881} λ = -0.16499881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46303417640411))-π/2
    2×atan(4.31904441002427)-π/2
    2×1.34327273625185-π/2
    2.68654547250371-1.57079632675     		φ = 1.11574915
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16499881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.453735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11574915 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.927717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31047 KachelY 17508 -0.16499881 1.11574915 -9.453735 63.927717
    Oben rechts KachelX + 1 31048 KachelY 17508 -0.16490293 1.11574915 -9.448242 63.927717
    Unten links KachelX 31047 KachelY + 1 17509 -0.16499881 1.11570701 -9.453735 63.925303
    Unten rechts KachelX + 1 31048 KachelY + 1 17509 -0.16490293 1.11570701 -9.448242 63.925303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11574915-1.11570701) × R
    4.21400000001348e-05 × 6371000     		dl = 268.473940000859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11574915-1.11570701) × R
    4.21400000001348e-05 × 6371000     		dr = 268.473940000859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16499881--0.16490293) × cos(1.11574915) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.439504690393083 × 6371000     		do = 268.472090593536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16499881--0.16490293) × cos(1.11570701) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.439542541848861 × 6371000     		du = 268.495212211318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11574915)-sin(1.11570701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439504690393083-0.439542541848861)×R²
    abs(-0.16490293--0.16499881)×3.78514557781706e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.78514557781706e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.78514557781706e-05×40589641000000     		ar = 72080.8637288185m²