Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 31045 / 6497
↖ ↑ ↗
← N 72.916408°
E161.070557°		 ← 358.88 m → N 72.916408°
E161.081543°		 →
↑
358.88 m
↓
↑
358.88 m
↓
N 72.913181°
E161.070557°		 ← 358.94 m →
128 805 m²		 N 72.913181°
E161.081543°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.947433471679688 y=0.198287963867188 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.947433471679688 × 215)
    floor (0.947433471679688 × 32768)
    floor (31045.5)     		tx = 31045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.198287963867188 × 215)
    floor (0.198287963867188 × 32768)
    floor (6497.5)     		ty = 6497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 31045 / 6497 ti = "15/31045/6497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/31045/6497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31045 ÷ 215
    31045 ÷ 32768     		x = 0.947418212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6497 ÷ 215
    6497 ÷ 32768     		y = 0.198272705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.947418212890625 × 2 - 1) × π
    0.89483642578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.81121154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.198272705078125 × 2 - 1) × π
    0.60345458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.89580850617398
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.81121154} λ = 2.81121154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.89580850617398))-π/2
    2×atan(6.65792920600318)-π/2
    2×1.42171386556728-π/2
    2.84342773113456-1.57079632675     		φ = 1.27263140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.81121154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 161.070557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27263140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 72.916408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31045 KachelY 6497 2.81121154 1.27263140 161.070557 72.916408
    Oben rechts KachelX + 1 31046 KachelY 6497 2.81140329 1.27263140 161.081543 72.916408
    Unten links KachelX 31045 KachelY + 1 6498 2.81121154 1.27257507 161.070557 72.913181
    Unten rechts KachelX + 1 31046 KachelY + 1 6498 2.81140329 1.27257507 161.081543 72.913181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27263140-1.27257507) × R
    5.63300000000488e-05 × 6371000     		dl = 358.878430000311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27263140-1.27257507) × R
    5.63300000000488e-05 × 6371000     		dr = 358.878430000311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.81121154-2.81140329) × cos(1.27263140) × R
    0.000191749999999935 × 0.293766597671147 × 6371000     		do = 358.87680605391m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.81121154-2.81140329) × cos(1.27257507) × R
    0.000191749999999935 × 0.293820441766681 × 6371000     		du = 358.942584114396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27263140)-sin(1.27257507))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.293766597671147-0.293820441766681)×R²
    abs(2.81140329-2.81121154)×5.38440955340502e-05×R²
    0.000191749999999935×5.38440955340502e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.38440955340502e-05×40589641000000     		ar = 128804.947918255m²