Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 31045 / 38213
↖ ↑ ↗
← S 28.637568°
W  9.464722°		 ← 536.13 m → S 28.637568°
W  9.459228°		 →
↑
536.12 m
↓
↑
536.12 m
↓
S 28.642389°
W  9.464722°		 ← 536.10 m →
287 421 m²		 S 28.642389°
W  9.459228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473716735839844 y=0.583091735839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473716735839844 × 216)
    floor (0.473716735839844 × 65536)
    floor (31045.5)     		tx = 31045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583091735839844 × 216)
    floor (0.583091735839844 × 65536)
    floor (38213.5)     		ty = 38213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31045 / 38213 ti = "16/31045/38213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31045/38213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31045 ÷ 216
    31045 ÷ 65536     		x = 0.473709106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38213 ÷ 216
    38213 ÷ 65536     		y = 0.583084106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473709106445312 × 2 - 1) × π
    -0.052581787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16519056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583084106445312 × 2 - 1) × π
    -0.166168212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.522032836862412
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16519056} λ = -0.16519056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522032836862412))-π/2
    2×atan(0.593313212258858)-π/2
    2×0.53548823694258-π/2
    1.07097647388516-1.57079632675     		φ = -0.49981985
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16519056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.464722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49981985 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.637568°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31045 KachelY 38213 -0.16519056 -0.49981985 -9.464722 -28.637568
    Oben rechts KachelX + 1 31046 KachelY 38213 -0.16509468 -0.49981985 -9.459228 -28.637568
    Unten links KachelX 31045 KachelY + 1 38214 -0.16519056 -0.49990400 -9.464722 -28.642389
    Unten rechts KachelX + 1 31046 KachelY + 1 38214 -0.16509468 -0.49990400 -9.459228 -28.642389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49981985--0.49990400) × R
    8.41500000000051e-05 × 6371000     		dl = 536.119650000032m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49981985--0.49990400) × R
    8.41500000000051e-05 × 6371000     		dr = 536.119650000032m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16519056--0.16509468) × cos(-0.49981985) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.877668916160143 × 6371000     		do = 536.125356386378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16519056--0.16509468) × cos(-0.49990400) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.877628582698108 × 6371000     		du = 536.1007186314m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49981985)-sin(-0.49990400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877668916160143-0.877628582698108)×R²
    abs(-0.16509468--0.16519056)×4.03334620353579e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.03334620353579e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.03334620353579e-05×40589641000000     		ar = 287420.734199295m²