Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 31045 / 37316
↖ ↑ ↗
← S 24.226929°
W  9.464722°		 ← 557.05 m → S 24.226929°
W  9.459228°		 →
↑
557.02 m
↓
↑
557.02 m
↓
S 24.231938°
W  9.464722°		 ← 557.03 m →
310 281 m²		 S 24.231938°
W  9.459228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 31045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 37316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473716735839844 y=0.569404602050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473716735839844 × 216)
    floor (0.473716735839844 × 65536)
    floor (31045.5)     		tx = 31045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.569404602050781 × 216)
    floor (0.569404602050781 × 65536)
    floor (37316.5)     		ty = 37316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 31045 / 37316 ti = "16/31045/37316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/31045/37316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 31045 ÷ 216
    31045 ÷ 65536     		x = 0.473709106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 37316 ÷ 216
    37316 ÷ 65536     		y = 0.56939697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473709106445312 × 2 - 1) × π
    -0.052581787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16519056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56939697265625 × 2 - 1) × π
    -0.1387939453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.436034038944031
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16519056} λ = -0.16519056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.436034038944031))-π/2
    2×atan(0.646595716125455)-π/2
    2×0.573978326978315-π/2
    1.14795665395663-1.57079632675     		φ = -0.42283967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16519056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.464722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42283967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.226929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 31045 KachelY 37316 -0.16519056 -0.42283967 -9.464722 -24.226929
    Oben rechts KachelX + 1 31046 KachelY 37316 -0.16509468 -0.42283967 -9.459228 -24.226929
    Unten links KachelX 31045 KachelY + 1 37317 -0.16519056 -0.42292710 -9.464722 -24.231938
    Unten rechts KachelX + 1 31046 KachelY + 1 37317 -0.16509468 -0.42292710 -9.459228 -24.231938
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42283967--0.42292710) × R
    8.74299999999995e-05 × 6371000     		dl = 557.016529999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42283967--0.42292710) × R
    8.74299999999995e-05 × 6371000     		dr = 557.016529999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16519056--0.16509468) × cos(-0.42283967) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.911927355295832 × 6371000     		do = 557.052174634902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16519056--0.16509468) × cos(-0.42292710) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.911891474763386 × 6371000     		du = 557.030256958554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42283967)-sin(-0.42292710))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911927355295832-0.911891474763386)×R²
    abs(-0.16509468--0.16519056)×3.58805324466305e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.58805324466305e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.58805324466305e-05×40589641000000     		ar = 310281.16528784m²